Die Jacobi-Vermutung, eines der berühmtesten offenen Probleme der algebraischen Geometrie, wurde im Juli 2026 endgültig widerlegt. Levent Alpöge, Mathematiker an der Harvard University und Forscher bei Anthropic, gab am 19. Juli 2026 bekannt, dass er mit Unterstützung des KI-Systems Claude Fable 5 ein Gegenbeispiel gefunden habe.
Die Vermutung, die erstmals 1939 vom deutschen Mathematiker Ott-Heinrich Keller formuliert wurde, besagt, dass eine polynomiale Abbildung F: ℂn → ℂn global umkehrbar sein muss, wenn ihre Jacobi-Determinante eine von Null verschiedene Konstante ist. Sie wurde 1998 vom Fields-Medaillisten Stephen Smale in eine Liste von 18 bedeutenden mathematischen Problemen des 21. Jahrhunderts aufgenommen.
Das Gegenbeispiel
Das Gegenbeispiel ist eine polynomiale Abbildung F: ℂ3 → ℂ3 mit den folgenden Koordinatenpolynomen:
\[ F_1(x,y,z) = y^2(3xy+4)(xy+1) + z(xy+1)^3 \]
\[ F_2(x,y,z) = 3xy^2(3xy+4) + 3xz(xy+1)^2 + y \]
\[ F_3(x,y,z) = 2x - x^3z - 3x^2y \]
Ihre Jacobi-Determinante ist die von Null verschiedene Konstante −2:
\[ \det\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}\right) = -2. \]
Obwohl die Abbildung die Bedingung der Vermutung erfüllt, ist sie nicht injektiv. Drei verschiedene Punkte werden auf denselben Bildpunkt abgebildet:
\[ F(0,0,-1/4) = F(1,-3/2,13/2) = F(-1,3/2,13/2) = (-1/4,0,0). \]
Verifizierung und Bedeutung
Das Gegenbeispiel wurde fast sofort unabhängig verifiziert. Noch am selben Tag erschien eine formale Verifikation mit Isabelle/HOL, die bestätigte, dass die Jacobi-Determinante identisch −2 ist und dass die drei verschiedenen Punkte dasselbe Bild haben. Auch stabile Lean-Verifikations-Repositorien entstanden innerhalb weniger Stunden. Der Fields-Medaillist Timothy Gowers nannte das Ergebnis „erstaunlich“ und betonte, dass es das erste Mal sei, dass eine KI ein Problem dieser Größenordnung außerhalb seines eigenen Fachgebiets gelöst habe. Laut Experten handelt es sich vermutlich um das schwierigste mathematische Problem, bei dem KI bisher eine bedeutende Rolle bei der Lösung oder Widerlegung gespielt hat.
Das Gegenbeispiel widerlegt die Jacobi-Vermutung in drei Dimensionen und durch Hinzufügen von Identitätskoordinaten in jeder Dimension n ≥ 3. Die ursprüngliche zweidimensionale Version der Vermutung – jene, die Keller 1939 formulierte – bleibt jedoch weiterhin offen.
Literaturverzeichnis
- Alpöge, L. (2026, 19. Juli). X-Beitrag mit der Ankündigung des Gegenbeispiels. https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
- Formal Verification of an Explicit Counterexample to the Jacobian Conjecture. (2026). Archive of Formal Proofs (Isabelle/HOL). https://isa-afp.org/entries/Jacobian_Counterexample.html
- Tao, T. (2026, 21. Juli). A digestion of the Jacobian conjecture counterexample. What's New. https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/
- Jacobian Conjecture. (2026). Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/JacobianConjecture.html
- Sparkes, M. (2026, 20. Juli). AI's solution to 87-year-old riddle takes mathematicians by surprise. New Scientist. https://www.newscientist.com/article/2580374-ais-solution-to-87-year-old-riddle-takes-mathematicians-by-surprise/
