Christoph Gottlieb Schröter (1699–1782) und die Nothwendigkeit der Mathematik bey gründlicher ” Erlernung der musikalischen Composition“ (2. Teil)

Sie können zuerst den ersten Teil lesen.

3. Schröters Lösung des Problems der gleichschwebenden Stimmung aus dem Jahre 1747

Wie bereits erläutert, läuft das genannte Problem darauf hinaus, auf einem gegebenen Monochord der Länge 2L die von einem der Enden ausgehenden Strecken der Länge

\(L , L \sqrt[12]{2}, L (\sqrt[12]{2})^{2}, ... , L (\sqrt[12]{2})^{11}  \)

abzutragen. Schröter veröffentlichte seine Lösung im II. Teil seiner umfangreichen Abhandlung „Nothwendigkeit der Mathematik bey gründlicher Erlernung der musikalischen Composition, dem mit nachdrücklicher Bescheidenheit beurtheilten critischen Musico erwiesen“, welcher im Teil 3 von Band 3 von Lorenz Mizlers Musikalische Bibliothek erschien [3]. Dort findet sich folgende Tabelle [3, S. 457]:

Schröters Erläuterungen hierzu kann man Folgendes entnehmen: Die betrachtete Oktave geht vom Ton C zum Ton c; diese Töne und die 11 dazwischenliegenden Halbtöne sind in der Spalte links vor dem Rahmen der Tabelle angegeben, oben mit C beginnend. (Man beachte, dass Schröter Längen angibt, höhere Zahlenwerte also niedrigeren Tonhöhen entsprechen.) Bei den folgenden Umzeichnungen der Schröterschen Tabelle wird noch eine Spalte mit den betreffenden Exponenten von \(\sqrt[12]{2}\) davorgesetzt, von oben 12 für C bis unten 0 für c.

Schröter trägt in die Spalte mit der Überschrift „Die großen Differenzen“ diejenigen Frequenzverhältnisse ein, die die pythagoräische Stimmung problemlos liefert. Um diesen Prozess übersichtlicher zu darzustellen, wird in den Umzeichnungen eine zusätzliche Doppelspalte eingefügt zwischen der Spalte, in der die Notenangaben stehen, und der mit der Überschrift „Die kleinen Differenzen“. Da Schröter im Folgenden Brüche vermeiden will, bietet es sich für ihn angesichts der pythagoräischen Frequenzverhältnisse an, die Zahlen für das Verhältnis von C zu c nicht als 2 und 1, sondern als 6 und 3 zu wählen. Damit erhält er in der ersten Umzeichnung folgende Einträge in der Spalte direkt rechts neben der Spalte mit den Notenangaben. Um auch im nächsten Schritt ohne Brüche auszukommen, multipliziert er diese Werte noch mit 9. (Die genaue Wahl dieses Faktors rechtfertigt sich durch die folgende Rechnung.) Die Produkte werden in die nächste Spalte eingetragen:

Um die in der zuletzt angefügten Spalte noch fehlenden Werte einzutragen, interpoliert Schröter zwischen den bereits eingetragenen Werten und zwar mit stückweise konstanten ganzzahligen Inkrementen, die von unten nach oben monoton ansteigen, wobei er maximal zwei verschiedene Werte pro Interpolationsintervall zulässt. Die Inkremente werden in die Spalte mit der Überschrift „Die kleinen Differenzen“ eingetragen.

Die Einträge in der Spalte rechts daneben entstehen dann so, dass man, unten mit 1 und 27 beginnend, die darunterstehenden Einträge der Spalte „Die kleinen Differenzen“ und der Spalte ganz rechts addiert, also als erstes 1 + 27 = 28 erhält, dann 2 + 28 = 30, usw..

Schröter hat dabei die Inkremente so gewählt, dass bei diesem Vorgehen an den durch die pythagoräische Harmonielehre vorgegebenen Stellen die bereits eingetragenen Werte erzeugt werden, etwa für den Exponenten 5 bzw. die Note g der Wert 36. Hieraus folgt, dass die Summe aller Inkremente zusammen mit dem Wert 27 in der mit „0“ beginnenden Zeile der zuletzt angefügten Spalte den Wert 54 in der obersten, mit „12“ beginnenden Zeile ergeben muss, die Summe aller Inkremente also gleich 54 − 27 = 27 sein muss, was wegen 54 = 2 · 27 gerade auch der Startwert in der mit „0“ beginnenden Zeile ist.

Bildet man für die so gefundenen Werte in der letzten Spalte für j = 0, 1, . . . , 12 den Quotienten der Zahl in der mit „j“ beginnenden Zeile mit der Zahl in der mit „0“ beginnenden Zeile, also 27, so erhält man jeweils eine Näherung für \((\sqrt[12]{2})^{j}\) . Diese weicht relativ um maximal 2,11 % von dem korrekten Wert für die gleichschwebende Stimmung ab. Allerdings kann das menschliche Gehör relative Tonhöhenunterschiede von circa 0,6 % noch wahrnehmen, so dass Abweichungen der Näherungen von den korrekten Werten deutlich hörbar sind.

Schröters Idee ist nun, den Schritt, der von der vorletzen Spalte, der mit der Überschrift „Die kleinen Differenzen“, zu letzten Spalte geführt hat, zu iterieren:

 Dazu versieht er die letzte Spalte mit der Überschrift „Die großen Differenzen“ und addiert deren Einträge von der mit „11“ beginnenden bis zu der mit „0“ beginnenden Zeile, was 451 ergibt. Diesen Wert trägt er als untersten in eine jetzt noch angefügte Spalte mit der Überschrift „Die gleichschwebende Temperatur“ ein und führt dann das eben beschriebene Berechnungsverfahren erneut durch: Jeder Wert in der neuen Spalte ergibt sich als Summe des Wertes in dieser Spalte direkt darunter und des Wertes in der Spalte „Die großen Differenzen“ schräg darunter. Dies liefert ihm die folgende Tabelle:

Der Effekt dieser einen Iteration ist beachtlich: Bildet man wie gehabt die Quotienten, diesmal mit dem Nenner 451, so beträgt der maximale relative Fehler jetzt nur noch 0,0735 %, er wurde also um circa den Faktor 28 verringert. Insbesondere ist die Abweichung eines gemäß der angegebenen Längen unterteilten Monochords von der gleich-schwebenden Stimmung nicht mehr hörbar, und das bei einer Unterteilung in nur 902 Teile.

Zum Vergleich: Kurz vor Schröter hatte Jacob Georg Meckenheuser (ca. 1666 – ca. 1731) ein entsprechendes Resultat vorgestellt, das auf einer Unterteilung der Monochord-Saite in 160.000.000 Teile basierte [3, S. 460].

4.  Der mathematische Hintergrund

 Dass die eine von Schröter durchgeführte Iteration sogleich Werte liefert, die im Rahmen der Hörgenauigkeit für die gleichschwebende Stimmung reichen, war für ihn natürlich ein schöner Erfolg, hielt ihn aber offensichtlich auch davon ab, weitere Iterationen durchzuführen oder sich gar Gedanken dazu zu machen, warum diese immer bessere Näherungen für \((\sqrt[12]{2})^{j}\) für j = 0, 1, . . . , 12 liefern. Stattdessen begründete er sein Verfahren durch das Nachrechnen einzelner Beispiele [3, S. 458–460].

4.1  Analyse von Schröters Verfahren

In moderner mathematischer Notation lässt sich der von Schröter beschriebene Iterationsschritt wie folgt beschreiben, sei es für den Übergang von der Spalte „Die kleinen Differenzen“ zu der „Die großen Differenzen“, sei es von der letztgenannten Spalte zu der Spalte „Die gleichschwebende Temperatur“: 

Gegeben ist eine Spalte mit den Einträgen \(x_{j}\) für j = 0, 1, . . . , 11, wobei j den Exponenten der anzunähernden Potenz von \(\sqrt[12]{2}\) angibt und die \(x_{j}\) im Prinzip irgendwelche Zahlen sein können, es sich aber aufgrund der Aufgabenstellung als sinnvoll erweist, diese als positive reelle Zahlen anzunehmen.

Der Übergang zu der direkt rechts daneben liegenden Spalte mit den Einträgen \(y_j\) für i = 0, 1, . . . , 12 erfolgt durch die Setzungen

\(y_{0} := x_{0} + x_{1} + ... + x_{11}\)      und     \(y_{i} := x_{j-1} + y_{j-1}\)      für   \(j = 1, 2, ... , 12\).

Hieraus ergibt sich als geschlossener Ausdruck

\(y_{j} = 2(x_{0} + x_{1} + ...+ x_{j-1}) + (x_{j} + x_{j+1} + ... + x_{11})\)    für     \(j = 0, 1, ... , 12\). 

Insbesondere gilt also \(y_{12} = 2y_{0}\) , so dass der Wert \(y_{12}\) im Folgenden nicht mehr betrachtet werden muss, man sich also auf die Zahlen mit Indizes von 0 bis 11 beschränken kann.

4.2  Anwendung der Potenziteration

In der Terminologie der Linearen Algebra entsteht die Spalte der \(y_j\) , j = 0, 1, . . . , 11, aus der der \(x_j\) durch Multiplikation von links mit der reellen 12 × 12-Matrix   \mathbf{A} := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 & 2 \\1 & 1 & 2 & \dots & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & \ddots  & 2 & 2 & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \ddots & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 &  \cdots & 1 & 1 & 2  \\  1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Da die Matrix A nur positive Einträge besitzt, hat sie nach einem Ergebnis von Oskar Perron (1880–1975) [1, S. 261, Satz] einen dominanten Eigenwert λA , d. h., der Eigenwert λA hat die Vielfachheit 1, ist reell, positiv und echt größer als der Absolutbetrag jedes anderen Eigenwertes von A.

Damit lässt sich die Methode der Potenziteration auf diese Problemstellung anwenden: Für jeden Vektor v, der nicht ein Eigenvektor zu einem von λA verschiedenen Eigenwert von A ist, konvergiert die Folge

\(A^{n}v\)   für \(n \in \mathbb{N} \)

nach geeigneter Normierung gegen einen Eigenvektor zu λA .(†)

Die konkret beim Schröterschen Verfahren auftretende Matrix A hat das charakteristische Polynom χA (t) = (t + 1)12 − 2t12 , ihre Eigenwerte sind also gleich λ = ξ 12√12−1 , wobei ξ die 12-ten (komplexen) Einheitswurzeln durchläuft. Der dominante Eigenwert λA liegt daher für ξ = 1 vor: 

\(\lambda_{A} = \frac{1}{\sqrt[12]{2} - 1}\).

Die zu λA gehörigen Eigenvektoren sind genau die (von 0 verschiedenen) skalaren Vielfachen des Vektors

\(v_{A} :=  \begin{pmatrix} \sqrt[12]{2}^{11} \\ \sqrt[12]{2}^{10} \\ \vdots \\ \sqrt[12]{2} \\ 1    \end{pmatrix}\).

Hingegen haben die Eigenvektoren zu den anderen Eigenwerten von A allesamt mindestens einen Eintrag, der kleinergleich 0 ist.

Startet man also mit einem Vektor v mit lauter positiven Einträgen x0 , x1 , . . . , x11 undersetzt die eigentlichen Bildvektoren An v durch deren jeweiliges skalares Vielfaches mit dem letzten Eintrag 1, so konvergieren die derart normierten Vektoren gegen den Vektor vA . (Die Normierung ist dabei stets möglich, da die Matrix A nur positive Einträge besitzt, alle Einträge des Bildvektors Av eines Vektors v mit lauter positiven Einträgen also wieder positiv sind; insbesondere ist der letzte von 0 verschieden.)

4.3  Elementarer Konvergenznachweis

Ohne Verwendung des Satzes von Perron und der Methode der Potenziteration kann man auch direkt einsehen, dass der Schrötersche Iterationsschritt zu besseren Näherungen für die Potenzen \(\sqrt[12]{2}\) führt.  Für den Elementaren Konvergenznachweis verweisen wir auf die Originalpublikation, die sich hier als PDF herunterladen können.

Peter Ullrich