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Fünf Minuten Mathematik

Wer hat nicht gezahlt? (nichtkonstruktive Existenzbeweise)

In der Mathematik ist es hin und wieder so, dass man zwingend logisch beweisen kann, dass es Objekte mit den geforderten Eigenschaften gibt, dass man eventuell aber nicht in der Lage ist, ein konkretes Beispiel zu nennen. Man spricht dann etwas schwerfällig von "nichtkonstruktiven Existenzaussagen".

Als Beispiel betrachten wir das klassische Ergebnis, dass es beliebig viele Primzahlen gibt. Damit gibt es sicher auch eine, die mindestens 100 Trillionen Stellen hat. Wir sind jedoch weit davon entfernt, solche Riesen zu Papier bringen zu können, der derzeitige Rekordhalter unter den Primzahlen (vom Juni 2004) hat "nur“ einige Millionen Stellen. Und man kann davon ausgehen, dass sich diese Situation zu unseren Lebzeiten auch nicht prinzipiell verbessern wird.

Vom Nachweis der Existenz bis zu konkreteren Informationen ist es – wenn es überhaupt geht - oft ein weiter Weg. Zum Beispiel war durch ein Argument von Georg Cantor, dem Schöpfer der Mengenlehre, klar, dass unter den Zahlen die überwältigende Mehrheit "sehr kompliziert“, nämlich transzendent sein muss. Es war aber dann noch eine gewaltige Anstrengung erforderlich, solche Zahlen auch wirklich anzugeben. (Und noch weit schwieriger war es, die Komplexität konkreter Zahlen zu berechnen; im Fall der Kreiszahl pi hat es dem Entdecker, dem Mathematiker Lindemann, einen Platz im Olymp der Mathematiker gesichert.)

Man könnte nun glauben, dass es im "wirklichen“ Leben keine vergleichbaren Probleme gibt. Das stimmt aber nicht. Um ein Beispiel zu finden, begeben wir uns in die nächste Jazzbar. Drinnen drängeln sich 100 Leute, die Stimmung ist hervorragend. Am Eingang wird jedoch berichtet, dass nur 90 Eintrittskarten verkauft wurden. Und nun? Man kann ganz sicher davon ausgehen, dass sich 10 Besucher irgendwie hineingeschummelt haben. Aber trauen Sie sich zu, es auch nur einem einzigen davon wirklich nachweisen zu können?

Die Kolumne "Fünf Minuten Mathematik" in der WELT vom 25. 7. 2004
Ehrhard Behrends, FU Berlin