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Fünf Minuten Mathematik

Knoten

Stellen Sie sich vor, dass Sie in Ihrem Bastelkeller eine ziemlich lange Verlängerungsschnur haben. Sie stecken das eine Ende – den Stecker – in das andere Ende – die Dose – und haben dann einen geschlossenen Stromkreis. Wenn die Verlängerungsschnur vor dieser Aktion mehr oder weniger verschlungen war, so wird sie nun hoffnungslos verknotet sein. Kann man sie, ohne die Stecker zu lösen, entknoten, d.h. in einen großen Kreis legen? Es ist offensichtlich, dass das manchmal klappen wird, manchmal aber auch nicht.

Doch wann genau? Das Thema beschäftigt die Mathematik seit einigen Jahrhunderten. Es ging dabei natürlich nicht um Verlängerungsschnüre, sondern um die Theorie allgemeiner Knoten. Ein erstes Problem besteht darin, erst einmal die richtige Sprache zur Behandlung derartiger Fragen zu finden. Es wurde schon von Leibniz aufgeworfen, aber erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts befriedigend gelöst. Die präzise Fassung ist etwas technisch, deswegen bleiben wir bei Verlängerungsschnüren.

Skandalöserweise dauerte es dann noch mehrere Jahrzehnte, bis eine der einfachsten Fragen entschieden werden konnte. Was jeder Bastler weiß, ist erst seit den dreißiger Jahren des vorigen Jahrhunderts auch wirklich streng beweisbar: Ja, es kann vorkommen, dass ein Entknoten auch mit den raffiniertesten Methoden unmöglich ist. Wesentlich schwieriger ist dagegen das so genannte Klassifikationsproblem: Welche Typen von wirklich verschiedenen Knoten gibt es eigentlich? Das ist Gegenstand aktueller Forschung.

Die Hauptmotivation, sich mit Knotentheorie zu beschäftigen, ergab sich aus ihrer Bedeutung für die Physik. Im Jahr 1867 hatte nämlich der englische Physiker William Thomson, der spätere Lord Kelvin, eine sehr originelle Atomtheorie vorgeschlagen. Danach sollten Atome Wirbel-Linien im Äther sein, man kann sie sich als ineinander verschlungene winzige Rauchringe vorstellen. Die Vielzahl der möglichen Atome wäre dann dadurch zu erklären, dass bei verschiedenen Atomen prinzipiell verschieden Verknotungen realisiert sind. Das gab den Anlass zu einer systematischen Theorie der Knoten.

Für Kelvins Ideen ist in der heutigen Physik kein Platz mehr. Inzwischen ist aber die Knotentheorie für Physiker aus einem anderen Grund brandaktuell. In der so genannten Stringtheorie spielt sie nämlich eine wichtige Rolle, um die Welt im Kleinen beschreiben zu können.

Die Kolumne "Fünf Minuten Mathematik" in der WELT vom 16. 6. 2003 (und in der "Berliner Morgenpost" vom 19. 10. 2003)
Ehrhard Behrends, FU Berlin