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Fünf Minuten Mathematik

Von Pferden und Finanzmärkten: Arbitrage

Eines der Schlüsselworte der modernen Finanzmathematik ist die Arbitrage. Das ist ein Begriff, der auch in anderen Bereichen gebraucht wird: Für Reiter ist die "Arbitrage" ein Teil des Zaumzeugs, das verhindern soll, dass das Pferd den Kopf nach oben reißt. Wir bleiben bei den Finanzmärkten, da muss man zur Arbitrage zwei Dinge wissen. Erstens die Definition: Arbitrage ist die Möglichkeit, ohne Risiko und ohne Einsatz von Kapital einen Gewinn zu machen. Wenn zum Beispiel die Bank A den Dollar für 0.90 Euro verkauft und die Bank B ihn für 1 Euro ankauft, so sollten Sie sich ganz schnell irgendwoher 900 Euro borgen: Kaufen Sie davon 1000 Dollar, verkaufen Sie die für 1000 Euro und geben Sie die 900 Euro zurück. So haben Sie ganz schnell 100 Euro verdient. Besser wäre es natürlich, wenn Sie sich 9000 Euro borgen könnten oder gar 90000: Arbitrage ließe sich wie ein Goldesel verwenden.

Leider ist da die zweite Tatsache, die man zur Arbitrage wissen muss: Arbitrage gibt es nicht. Für dieses "Grundgesetz der Finanzmathematik“ wurde der Slogan "no free lunch“ geprägt. Ganz streng wie bei einem Naturgesetz kann man sich allerdings nicht darauf verlassen. Wenn zum Beispiel der Wechselkurs in Hongkong auch nur minimal anders ist als in Frankfurt, werden gewaltige Summen bewegt, um einen Arbitragegewinn zu machen. Der ist zwar prozentual minimal, bei einigen Milliarden Euro Einsatz ist das Ergebnis aber immer noch bemerkenswert. Für Sie und mich ist das allerdings keine Möglichkeit, reich zu werden, denn die Bankgebühren würden höher sein als der Gewinn.

Nun zur Mathematik. Da wird das Prinzip "no free lunch“ für die Finanzen genau so ausgenutzt wie etwa die Newtonschen Gesetze oder der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Physik. Es dient insbesondere dazu, Formeln für Preise von allen möglichen Optionen auszurechnen. Diese Finanztitel haben eine immer noch zunehmende Bedeutung, mit ihnen werden heute die verschiedensten Risiken abgesichert. Das Arbitrageprinzip spielt dabei eine wichtige Rolle, es wird wie folgt angewendet: Nur wenn der Preis für eine bestimmte Option einen ganz speziellen Wert hat, gibt es keine Arbitrage. Deswegen muss diese Zahl als Preis der Option angesetzt werden.

Vor einigen Jahren gab es für - allerdings ziemlich komplizierte – Rechnungen nach diesem Muster sogar einen Nobelpreis. Der wurde für die Herleitung der Black-Scholes-Formel verliehen, die bei der Bewertung von Optionen eine ganz fundamentale Rolle spielt.

(Mehr dazu in der nächsten Woche.)

Die Kolumne "Fünf Minuten Mathematik" in der WELT vom 9. 8. 2004
Ehrhard Behrends, FU Berlin