Topologie

A Topologist is someone who can't tell the
difference between a doughnut and a coffee cup.

Die Topologie (griechisch: topos = Raum, Ort) beschäftigt sich mit so genannten topologischen Räumen. Dies sind Mengen, in denen bestimmte Teilmengen ausgezeichnet sind, welche die "offenen" Mengen genannt werden. Man untersucht die aus der Analysis bekannten Eigenschaften, die auf dem Konzept der "Nähe" beruhen (Konvergenz, Stetigkeit einer Funktion, etc.) in diesem allgemeineren Rahmen. Genauer beschäftigt sie sich mit der Suche nach Eigenschaften, die mit jedem Raum auch den ihm "im topologischen Sinne gleichen" Räumen zukommen: Man kann sich das (anschaulich) so vorstellen: Zwei Räume sind als gleich anzusehen, wenn man sie durch Strecken, Drehen, Knautschen, etc. ineinander verformen kann, ohne sie dabei zu zerreißen oder zu zerschneiden. So sind z.B. eine Kaffeetasse mit Henkel und ein Doughnut (vom topologischen Standpunkt her) nicht wesentlich verschieden. Dazu werden auch Methoden anderer Teilgebiete der Mathematik, z.B. der Algebra herangezogen, man spricht dann von algebraischer Topologie.

J. Listing	L. Euler	B. Riemann	M. Jordan

Das Wort "Topologie" wurde erstmals 1847 von J. Listing (1808-1882) in seiner Arbeit Vorstudien zur Topologie benutzt. Doch die Geschichte der Topologie begann früher, nämlich 1736 mit einer Arbeit von L. Euler (1707-1783). In solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (in Deutsch etwa: "Lösung eines Problems zur Geometrie der Lage") beschäftigte er sich mit dem Königsberger Brückenproblem. Schon der Titel seiner Arbeit zeigt, dass er eingesehen hatte, dass das Problem nur mit der "Lage" der Punkte und nicht mit den Maßzahlen ihren Entfernungen zusammenhängt. Euler untersuchte auch konvexe Polyeder (durch Flächen begrenzte Körper, für die mit zwei Punkten auch die ganze Verbindungsstrecke im Körper liegt) und entdeckte die berühmte Eulersche Polyederformel. B. Riemann (1826-1866) und M. Jordan (1838-1922) untersuchten den "Zusammenhang" von Flächen im Raum, ihre Ideen und die Eulersche Polyederformel stellte H. Poincaré (1854-1912) im Jahre 1895 in einer Reihe von Arbeiten analysis situs auf eine völlig neue Basis. Er schuf die Konzepte Homologie und Homotopie und brachte damit algebraische Ideen in die Topologie ein.

H. Poincaré	M. Fréchet	F. Riesz	F. Hausdorff

Die mengentheoretischen Grundlagen der heutigen Topologie jedoch entstanden aus dem Versuch, die aus der Analysis bekannten Eigenschaften von "Lage" und "Nähe" auf eine axiomatische Grundlage zu stellen. Zunächst gelang es M. Fréchet (1878-1973) das Abstandskonzept zu abstrahieren, also die "wichtigen" Eigenschaften einer Abstandsfunktion zu erkennen, was ihn zu der Definition der metrischen Räume führte. Das sind Mengen, auf denen ein Abstandsbegriff definiert ist. Mit Hilfe des Abstandsbegriffes konnte er Konzepte wie Stetigkeit und Konvergenz auch für diese allgemeinere Situation definieren. In einem Brief an den Internationalen Kongress der Mathematik in Rom verabschiedete sich F. Riesz (1880-1956) im Jahr 1909 erstmals völlig vom Begriff des Abstands und schlug eine axiomatische Beschreibung der Topologie vor. 1914 axiomatisierte F. Hausdorff (1868-1942) den Begriff der Umgebung und gelangte dadurch zum Begriff des topologischen Raumes, so wie er heute verwendet wird (genauer gesagt: Hausdorff axiomatisierte topologische Räume mit einer Zusatzeigenschaft: diese werden heute Hausdorff-Räume genannt). Die heutige gebräuchliche Beschreibung topologischer Räume durch offene Mengen wurde schließlich 1925 von P. Alexandroff (1896-1982) formuliert.

H. Hopf	P. Alexandroff	J. Milnor	M. Freedman	S. Donaldson

Topologische Überlegungen und Begriffe spielen in anderen Teilgebieten der Mathematik, wie etwa in der Funktionalanalysis (hier werden Vektorräume untersucht, die gleichzeitig eine topologische Struktur tragen), eine grundlegende Rolle. Im wirklichen Leben spielt die Topologie insofern keine sehr große Rolle, da eben eine Kaffeetasse doch kein Donut ist. Allerdings gibt es Teilgebiete der Topologie, wie etwa die Knotentheorie, die im Leben auftauchen: Man kann zeigen, dass es nicht möglich ist, einen Überhandknoten aus einem Seil zu entfernen, nachdem man die beiden Enden verklebt hat.

Interview mit Prof. Vogt

Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der Topologie.
Topologie beschäftigt sich mit Objekten, die aus einer Verallgemeinerung des üblichen Raumbegriffs entstanden sind. Diese Objekte heißen dann einfach wieder Räume. Grob gesagt sind das Punktmengen, für die geklärt ist, wann ein Punkt einer Teilmenge beliebig nahe ist. Man deke etwa an den Punkt 0, der der Menge {1; 0,1 ; 0,01 ; ...} beliebig nahe ist, ohne dazuzugehören. Bei dieser Verallgemeinerung können ziemlich abstruse Räme entstehen. In der geometrischen und (meist auch in der) algebraischen Topologie beschränkt man sich auf die Untersuchung von Räumen, die zwar beliebig dimensional sein dürfen, sonst aber unseren Raumvorstellungen ziemlich nahe kommen. Z.B. sind Zustandsräume und Energieniveaus mechanischer Systeme solche Räume.
Um die Bewegungsgleichungen des physikalischen Systems aufstellen zu können, muss man auf diesen Räumen Funktionen und Felder differenzieren können, sie benötigen somit eine differenzierbare Struktur. Fragen nach der Existenz und Eindeutigkeit solcher Strukturen werden mit Methoden der algebraischen und geometrischen Topologie studiert. Ein ganz frappierendes Ergebnis aus den 80er Jahren des 20.Jahrhunderts ist die Tatsache, dass unter den euklidischen Räumen (es gibt zu jeder Dimension einen: die Gerade in Dimension 1, die Ebene in Dimension 2, etc.) der 4-dimensionale Raum der einzige ist, der mehrere differenzierbare Strukturen besitzt. Er besitzt sogar unendlich viele.

Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Nach dem Vordiplom nahm ich an einem Seminar über algebraische Topologie, anschließend an einem Seminar über Knotentheorie teil. Der Einsatz von Algebra zur Lösung unmöglich schwierig erscheinender geometrischer Fragen und die Attraktivität der Bilder in höher dimensionalen geometrischen Objekten fand ich faszinierend. Überhaupt, dass man sicher in hochdimensionalen Räumen geometrisch argumentieren konnte.

Seit wann arbeiten Sie darin?
Seit 1966.

Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in Ihrem Gebiet?
Innermathematisch hat algebraische und geometrische Topologie in vielen Bereichen Anwendungen: Algebraische Geometrie, Differentialgeometrie, Globale Analysis. Darüber hinaus liefert sie die Sprache und Beschreibung gewisser Phänomene der modernen Quantenphysik. In den letzten Jahren treten Invarianten der algebraischen Topologie vermehrt in der Komplexitätstheorie für algorithmische Probleme auf, um untere Schranken für die Komplexität zu etablieren.

Was gibt es für Aussichten (Berufschancen)?
Forschung in algebraischer und geometrischer Topologie findet zur Zeit nur im akademischen Bereich statt. Abgesehen davon bleibt natürlich das übliche Berufsfeld der Diplommathematikers.

Woran arbeiten Sie zurzeit?
Geometrische und homotopietheoretische Fragen bei Blätterungen, wobei Blätterungen die Gesamtheit von Lösungsflächen höherdimensionaler Differentialgleichungen sind. Speziell geht es im Moment um die Bestimmung einer Invarianten, die über die Anzahl von kritischen Niveaus von Funktionen auf geblätterten Räumen Aufschluss gibt.

Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Meistens allein oder zu zweit bei konkreten Problemen. Bei Projekten auch in Gruppen.

Wie lange arbeiten Sie so an einem bestimmten Problem?
Bis es gelöst ist. Manchmal geht das in einem halben Jahr, meistens dauert es jedoch deutlich länger. Einige (viele) Probleme sind noch ungelöst.

Gab es für Sie ein besonderes Ereignis auf diesem Gebiet?
Mehrere. Einmal die Entdeckung von H. Hopf (1894-1971), dass der Rand der n-dimensionalen Kugel "Löcher" in Dimensionen hat, die größer als n sind. Dann die Entdeckung von Milnor, dass es auf Sphären der Dimension größer als 6 wesentlich verschiedene Differentialrechnungen gibt. Schließlich die Beziehung zwischen partiellen Differentialgleichungen und Geometrie der Räume, die ihren frappierendsten Ausdruck in den Arbeiten von S. Donaldson (1957- ) und M. Freedman (1951- ) fand: der 4-dimensionale euklidische Raum, also unsere Raum-Zeit, ist der einzige euklidische Raum, der wesentlich verschiedene Differentialrechnungen erlaubt und sogar unendlich viele davon.

Was war für Sie das bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker der Topologie?
Schwierig. Poincaré war derjenige, mit dem die geometrische und algebraische Topologie begann. Bis heute waren ständig Topologen unter den Fields-Medallien Gewinnern. J. Milnor (1931- ) sollte man aber auf jeden Fall besonders erwähnen.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

L. Euler
B. Riemann
F. Hausdorff