Numerik
Die Aufgabe der Numerik ist die Konstruktion und Analyse von Algorithmen zur zahlenmäßigen Lösung mathematischer Probleme.
Diese Probleme stammen ursprünglich aus Anwendungsgebieten der Mathematik, wie z.B. den Ingenieur-, Natur-, Wirtschafts- und
Sozialwissenschaften, liegen aber in mathematischer Form, z.B. als
Differentialgleichungen vor.
Trotz dieser unterschiedlichen Anwendungsgebiete treten in der Numerik immer wieder ähnliche mathematische und algorithmische
Probleme auf: Es müssen in (fast) allen Anwendungen lineare Gleichungssysteme (LGS) gelöst werden, und zwar möglichst
genau und dabei effizient.
Andere Themen der Numerik sind das Suchen numerischer Lösungen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen,
Integralgleichungen, Optimierungsaufgaben, Approximationsproblemen für Funktionen, Kurven und Flächen sowie Eigenwert- und
Verzweigungsproblemen.
Da sich die Probleme in Bezug auf ihren mathematischen Hintergrund und damit auch in Bezug auf die Lösungsmethoden stark
unterscheiden, ist ein breites mathematisches Grundwissen für die Forschung in der Numerik erforderlich.
Wie wahrscheinlich bekannt ist, werden natürliche Zahlen auf dem Rechner im Binärsystem dargestellt.
Probleme treten jedoch auf, sobald man auch Zahlen mit beliebig vielen Nachkommastellen darstellen möchte.
Für eine Darstellung solcher Zahlen verwenden die Verfahren der numerischen Mathematik auf Rechnern Gleitkommazahlen.
Eine solche Gleitkommazahl wird durch eine Ziffernfolge und eine Größenordnung dargestellt, welche angibt, wo in der
Ziffernfolge das Komma steht.
Da sich das Komma je nach der Größenordnung verschiebt, spricht man hier von "Gleitkommazahlen", z.B. wird 3,14
durch 314 1 dargestellt.
(314 als Ziffernfolge und 1 um anzuzeigen, dass nach der ersten Ziffer das Komma kommt.)
Aus Effizienz- und Kapazitätsgründen können jedoch nicht alle Zahlen derart dargestellt werden.
Es entstehen also Fehler, was ein zentrales Problem der Numerik ist.
Es gilt somit diese Fehler abzuschätzen und gegen den Rechenaufwand abzuwägen.
Ein weiteres Problem ist, dass numerische Rechnungen nicht immer stabil sind, d.h. kleine Fehler in den Eingabedaten können große
Fehler in den Ausgabedaten verursachen.
Deshalb ist die Stabilitätsanalyse ein wichtiges Aufgabenfeld der Numerik, da sie genau Probleme solcher Art behandelt und versucht
Möglichkeiten zu schaffen dies zu vermeiden.
Das Ziel der Weiterentwicklung der Numerik ist natürlich, zu allen Problemen ein stabiles Lösungsverfahren zu finden, deren
Rechenaufwand nach Möglichkeit nur proportional zur Anzahl der Eingabedaten ist.
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| G. Leibniz | K. Zuse | H. Aiken | F. Klein |
Da die Numerik auf der Hilfe von Rechnern basiert, sind historisch gesehen ihre Anfänge mit der Entwicklung der ersten Computer
gleichzusetzen.
Computer entstanden aus der Idee, dem Menschen das Lösen von schwierigen Rechenaufgaben zu erleichtern und mögliche
Fehler auszuschließen. Die älteste bekannte Rechenhilfe ist der Abacus.
Er wurde ca. 2.500 vor Christus erfunden und wird auch heute noch von einem großen Teil der Weltbevölkerung verwendet.
Die eigentlichen Vorgänger des Computers sind die in späteren Jahrhunderten entwickelten Maschinen zur Lösung von
Rechenproblemen.
Gottfried Leibniz (1646-1716) erbaute gegen Ende des
17. Jahrhunderts eine der ersten Rechenmaschinen, die alle 4 Grundrechenarten beherrschte, wofür er als Erster das binäre
Zahlensystem benutzte, welches dann viel später bei die Entwicklung des Computers eingesetzt wurde.
Erst die von Konrad Zuse (1910-1995) in den 30er und 40er
Jahren dieses Jahrhunderts entwickelten Relaisrechner Zuse Z1 bis Zuse Z4 brachten einen weiteren Fortschritt in der Entwicklung des
Computers.
Hierfür verwendete Zuse das oben bereits erwähnte binäre Zahlensystem.
Im Vergleich zu heutigen Computern waren diese Rechenanlagen jedoch sehr langsam.
Die Zuse Z3 beispielsweise benötigte für eine Multiplikation bis zu 5 Sekunden.
Mitte der 40er Jahre entwickelte Howard H. Aiken
(1900-1973) zusammen mit IBM den "Harvard MARK I".
Diese Großrechenanlage war der erste programmgesteuerte Rechenautomat Amerikas und wies gewisse Ähnlichkeiten zu ZUSE Z3 auf,
wobei Aiken und Zuse nichts von ihren gemeinsamen Plänen wussten.
MARK I war 16m lang, etwa 2,5 m hoch, wog 35 Tonnen und bestand aus etwa 700 000 Einzelteilen - hauptsächlich aus
Zählrädern, Zahnstangen, Relais und elektromagnetischen Kupplungen.
Er arbeitete im Dezimalsystem mit festem Komma und benötigte für eine Addition etwa 0,3 Sekunden und für eine
Multiplikation 6 Sekunden.
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| C. Runge | M. Kutta | R. von Mises |
Entscheidende Impulse zur Entwicklung der numerischen Mathematik gingen um die Jahrhundertwende von
Felix Klein (1848-1925) aus, der neben hervorragenden
Leistungen auf verschiedenen Gebieten der reinen Mathematik auch sehr stark an Anwendungen interessiert war.
Seinem Wirken ist die Schaffung eines Lehrstuhls für angewandte Mathematik an der Universität Göttingen zu verdanken,
der 1904 mit Carl Runge (1856-1927) besetzt wurde.
Ebenso erkannte er früh die Begabung von Ludwig Prandtl (1875-1953) und die Bedeutung seiner bahnbrechenden Arbeiten zur
Strömungslehre.
Prandtl hatte 1901 mit einer Arbeit über die Torsionsteifigkeit von Stäben promoviert, mit der er auch wesentlich zur Entwicklung der
numerischen Mathematik beigetragen hat.
Die starke Entwicklung der naturwissenschaftlichen und technischen Disziplinen im 19. Jahrhundert führte zu wachsend komplizierteren
mathematischen Problemen, die meist nur noch numerisch lösbar waren.
Runge entwickelte auf dem Gebiet der gewöhnlichen
Differentialgleichungen ein Verfahren, welches unter anderem von
Martin Kutta (1867-1944) verbessert wurde und noch heute,
als Runge-Kutta-Verfahren bekannt, verwendet wird.
Nach dem ersten Weltkrieg bildete sich in Berlin durch
Richard von Mises (1863-1953) ein Zentrum der angewandten
Mathematik, dessen Direktor er selbst war. Von Mises war ein Meister der klaren, präzisen Darstellung nach dem Einsteinschen Motto:
Man soll die Dinge so einfach darstellen wie nur möglich, aber nicht einfacher, als sie sind.
Richard Courant gründete 1933/34 sein Courant-Institut in New York, an welchem in der angewandten Mathematik im weitesten Sinne,
also Theorie, Numerik und Anwendungen umfassend, geforscht wurde.
Ein weiteres Zentrum für Numerik war Los Angeles mit der University of California und Caltec in Pasadena.
Dort waren John Todd (1908-1994) und seine Frau
Olga Taussky-Todd (1906-1995) aus Österreich,
bekannt durch Arbeiten über lineare Algebra und Matrizen, tätig.
Viele der bedeutenden theoretischen Mathematiker hatten durchaus Sinn für konkrete Anwendungen.
S.L. Sobolev war interessiert an praktischen Anwendungen, an Numerik und an partiellen
Differentialgleichungen.
Andrei N. Tikhonov (1906-1993) war Direktor eines Instituts
für angewandte Mathematik in Moskau.
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| J. Todd | O. Taussky-Todd | A. Tikhonov |
Die numerische Mathematik stellt Lösungen für viele Anwendungsgebiete der Mathematik bereit und ist heutzutage bei Probleme in
Ingenieurs-, Natur-, Sozial- und Wirtschaftswissenschaften absolut von Nöten.
Beispielsweise müssen in der Klimaforschung für die Wettervorhersage unter anderem
Differentialgleichungen in 200 oder mehr Veränderlichen gelöst werden, was wiederum nur durch numerische Verfahren
möglich ist.
Interview mit Prof. Schütte
Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der Numerik.
Diese Frage sollte nicht so isoliert betrachtet werden.
Bei angewandter Mathematik besteht immer der Spagat zwischen Mathematik und Anwendung.
Hierbei gibt es den Dreiklang von Modell, Algorithmus und Simulation.
Für die Mathematiker ist das Modell das Interessante, Fragen über Existenz, Eindeutigkeit, Konvergenz und Ähnliches.
Den Anwendern geht es um die Simulation und sonst nichts.
Sie wollen Interpretationen aus diesen Simulationen.
Dazwischen jedoch steht der Algorithmus und dieser wird durch die Numerik mit mathematischen Methoden geleistet, um zu Simulationen
zu kommen.
Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Meine Frau zog nach Berlin und als ich mich hier für einen Job beworben habe, war das interessanteste Angebot in der Numerik.
Seit wann arbeiten Sie in diesem Gebiet?
Seit 1992.
Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Die Mathematik mit Anwendung ist für mich das Faszinierende, ich will beides.
Ich möchte mich dabei um den Transfer von einem ins andere und zurück kümmern, was heute leider sehr vernachlässigt wird.
Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in Ihrem Gebiet?
Anwendungen gibt es zuhauf.
Beispielsweise in der Finanzmathematik, wo Bewertungen nur mit numerischen Algorithmen funktionieren.
Auch jedes Mobiltelefon benötigt Numerik für die optimale Steuerung der Netzwerkwahl.
Allgemein lässt sich sagen, dass jedes Produkt aus den Ingenieurwissenschaften, speziell wenn sie Chips enthalten, Numerik benötigen.
Die moderne Numerik findet sich da eher in optischen oder biologischen Technologien wieder.
Was gibt es für Aussichten (Berufschancen)?
Die Aussichten sind sehr gut, wenn man es wirklich ernst meint.
Die Industrie ist in diesem Punkt extrem offen, fordert aber ernsthafte Erfahrungen in Bereichen, wo man sich die Finger schmutzig macht.
Leute die selbst programmieren oder das gewisse Know-How haben werden fast schon aggressiv gesucht.
Woran arbeiten Sie zurzeit?
Ich arbeite zurzeit in den Biowissenschaften.
Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Die Arbeit ist fast immer in Teams.
Wie lange arbeiten Sie so an einem Problem?
Wissenschaftliche Probleme verfolgen einen über Jahre.
Ernsthafte technische Probleme hingegen haben Deadlines.
Für Mathematiker enthält dies den frustrierenden Aspekt der Unvollkommenheit, jedoch ist es genau das, was die Industrie sehen will.
Was war für Sie das bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker der Numerik?
Diese Frage habe ich mir noch nie gestellt und kann sie auch nicht beantworten.
Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:
