Mengenlehre

"Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen."
(Georg Cantor, 1895)

Diese Beschreibung einer Menge von Georg Cantor (1845-1918) ist zwar keine Definition, aber die bis heute wohl bestmögliche Beschreibung der intuitiven Vorstellung des Begriffs einer Menge. Zu dieser Zeit wurden neben diesem Begriff auch Mannigfaltigkeit, Gesamtheit, Inbegriff, Varietät oder Klasse verwendet, was jedoch heutzutage nicht mehr üblich ist. Allerdings zog diese Beschreibung des Begriffs der Menge einige Probleme nach sich, auf die wir noch genauer eingehen werden.
Cantor selbst hat nicht nur den Mengenbegriff am besten beschrieben, er hat auch die ganze Theorie der Mengenlehre begründet. Mit großem Aufwand und vielen Widerständen von Seiten anderer angesehener Mathematiker entwickelte er eine Theorie für die Mächtigkeit oder Größe von unendlichen Mengen. Er entdeckte die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen und das Kontinuumsproblem, auf das weiter unten noch eingegangen wird. Sehr bald jedoch musste er einsehen, dass man mit diesen Begriffen sehr vorsichtig umgehen muss. Sehr große solcher Gesamtheiten, wie sie in seiner Beschreibung einer Menge vorkamen, konnten zu Problemen führen, die nicht zu lösen waren. Beispielsweise war ein naives Komprehensionsprinzip ("Zu jeder Eigenschaft existiert die Menge aller Objekte, auf die diese Eigenschaft zutrifft.") in der Theorie nicht haltbar, denn dann müsste es auch eine Menge geben, die alle Mengen enthält, welche sich nicht selbst enthalten. Dies führt aber zu einem Widerspruch, da sich diese Menge einerseits selbst enthalten müsste, dies jedoch andererseits nicht sein darf. Dieses Paradoxon ist auch unter dem Namen Russelsche Antinomie bekannt, benannt nach dem Mathematiker B. Russell (1872-1970).
Gelöst wurde dieses Dilemma 1908 axiomatisch von E. Zermelo (1871-1953), indem er ein System entwickelte, welches sorgfältig die Existenz und Bildung bestimmter Mengen aus anderen Mengen beschreibt. Zermelos Axiomensystem wurde später durch die Hinzunahme zweier weiterer Axiome (eines von A. Fraenkel (1891-1956) und eines von Zermelo und J. von Neumann (1903-1957) gemeinsam) ergänzt und ist seitdem unter der Abkürzung ZF bekannt. Letztendlich wurde die in dem System verwendete Sprache präzisiert und durch Hinzunahme des Auswahlaxioms (axiom of choice) die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik ZFC als Grundlage der heutigen Mengenlehre geschaffen.

David Hilbert	Felix Hausdorff	Ernst Zermelo	Bertrand Russell

Diese Grundlage war nun endlich groß genug, um alle mathematischen Objekte mit ihr behandeln und interpretieren zu können. Es ist also möglich, jedes mathematische Objekt innerhalb dieses Systems auf eine auf den Erfahrungen basierende Weise sinnvoll zu definieren. Die Mengenlehre kann somit aus sich selbst heraus betrieben werden und hat in dieser Hinsicht allen anderen Gebieten der Mathematik etwas voraus. Doch konnte Cantors Kontinuumsproblem weiterhin nicht gelöst werden. Dieses stellt die Frage, ob es eine überabzählbare Menge gibt, welche echt kleiner ist als die Menge der reellen Zahlen. Nachdem Cantor es einfach nicht schaffte, eine Lösung zu bekommen, und D. Hilbert (1862-1943) es zu Beginn des 20. Jahrhunderts auf die Liste der 23 offenen Probleme für das neue Jahrhundert setzte, gelang es schließlich K. Gödel (1906-1978) und P. Cohen (1934- ), die Frage zu beantworten. Sie konnten zeigen, dass das Problem unlösbar ist, es kann also weder bewiesen noch widerlegt werden. Neben Gödel, Hilbert und Cantor ist auch F. Hausdorff (1868-1942) zu den Mathematikern zu zählen, welche die Theorie der Mengenlehre mit ihren Beiträgen am weitesten voran gebracht haben.

Adolf Fraenkel	John von Neumann	Kurt Gödel	Paul Cohen

Eine klassische Vorlesung über Mengenlehre behandelt vor allem drei Dinge: die Axiome der Mengenlehre, die Ordinalzahlen und die Kardinalzahlen.
Diese drei Begriffe wollen wir im Folgenden etwas näher erläutern.
Das bedeutendste Axiomensystem der Mengenlehre ist das ZFC, welches weiter oben ja bereits erwähnt wurde. Der Name leitet sich aus den beiden Begründern E. Zermelo und A. Fraenkel und dem hinzugenommenen Auswahlaxiom (axiom of choice) ab. ZFC besteht aus insgesamt 10 Axiomen. Das Extensionalitätsaxiom (EXT) beispielsweise sagt aus, dass zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie die gleichen Elemente haben. Dies hört sich zwar ziemlich trivial an, muss jedoch in das Axiomensystem aufgenommen werden, da es keine Möglichkeit gäbe, diese Behauptung nur anhand der anderen Axiome zu beweisen. Ein weiteres Axiom, das Paarmengenaxiom (PA), besagt, dass zu je zwei Mengen x, y eine Menge z existiert, die genau x und y als Elemente enthält. Eine vollständige Auflistung aller zehn Axiome finden Sie hier.
Bei den Ordinal- und Kardinalzahlen, die neben den Axiomen den Hauptinhalt einer elementaren Mengenlehre-Vorlesung darstellen, handelt es sich nicht um die aus dem täglichen Sprachgebrauch bekannten Begriffe. Die Ordinalzahlen charakterisieren Wohlordnungen. Dies sind Mengen, versehen mit einer Ordnung, bezüglich der jede Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. (Z.B. die natürlichen Zahlen sind wohlgeordnet.) Kardinalzahlen sind bestimmte Ordinalzahlen, die - grob gesagt - aussagen, wieviele Elemente eine gegebene Menge enthält.
Über ein genaues Studium dieser Begriffe kommt man dann zu interessanten Resultaten, wie z.B., dass es genauso viele natürliche wie rationale Zahlen gibt, die Menge der reellen Zahlen jedoch wirklich größer ist.

Interview mit Dr. Geschke

Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der Mengenlehre.
Die axiomatische Mengenlehre entstand nach der Grundlagenkrise zu Anfang des 20. Jahrhunderts. Man sah sich nämlich dazu gezwungen, die Mathematik auf eine halbwegs feste Grundlage zu stellen. Die Mengenlehre bietet den Rahmen für sämtliche mathematischen Theorien und besteht aus einem System von Axiomen. Ihre Sprache ist so, dass die gesamte Mathematik mit ihr betrieben werden kann. Heutzutage geht es hauptsächlich um die Frage, was sich in dem System beweisen lässt und was nicht.

 

Seit wann arbeiten Sie in diesem Gebiet?
Seit etwa 10 Jahren.

Was fasziniert Sie speziell an diesem Gebiet?
Faszinierend ist der Zusammenhang mit vielen Gebieten der reinen Mathematik. Auch dass die Mengenlehre aus sich heraus betrieben werden kann, man nicht auf viel zurückgreifen muss und man trotzdem mit vielen Fragen aus anderen Gebieten in Berührung kommt, ist ein für mich interessanter Aspekt.

Was sind die Anwendungen der Mengenlehre, wofür kann man sie z.B. im täglichen Leben gebrauchen?
Anwendungen, die im täglichen Leben sichtbar wären, gibt es eher nicht. Der Hauptgesichtspunkt, Mengenlehre zu betreiben, bestand einfach darin, die Mathematik auf eine Basis zu stellen. Die Anwendungen sind eigentlich nur innermathematisch. Hilbert sagte einmal sinngemäß, dass unendliche Mengen die Theorie zwar vereinfachen, jedoch eigentlich niemanden interessieren.

Was sind die Aussichten in diesem Gebiet?
Aussichten bestehen hier nur universitätsintern.

Woran arbeiten Sie derzeit?
Im Moment arbeite ich hauptsächlich an Zusammenhängen zwischen Mengenlehre und Geometrie.

Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Normalerweise in Teams.

Wie lange arbeiten Sie so an einem bestimmten Problem?
Eigentlich arbeite ich nicht länger als einige Monate an ein und demselben Problem. Wenn ich bis dahin keinen bedeutenden Fortschritt erzielt habe, widme ich mich erstmal etwas anderem und komme eventuell später dazu zurück.

Was ist das ihrer Meinung nach bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker der Mengenlehre?
Das bedeutendste Ergebnis ist wohl der Nachweis der Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese vom Axiomensystem ZFC.
Der bedeutendste Mathematiker ist zum einen sicherlich Cantor, da er die grundlegenden Begriffe der Mengenlehre erfand. Aber auch Gödel ist hier zu nennen, da er einen völlig neuen Zugang zu dem Gebiet fand.

Das Axiomensystem ZFC:

(EXT) Extensionalitätsaxiom:
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben.

(FUN) Fundierungsaxiom:
Jede nichtleere Menge x hat ein Element y, das mit x kein Element gemeinsam hat.

(LM) Existenz der leeren Menge:
Es existiert eine Menge, welche keine Elemente hat.

(PA) Paarmengenaxiom:
Zu je zwei Mengen x, y existiert eine Menge z, die genau x und y als Elemente hat.

(VER) Vereinigungsaxiom:
Zu jeder Menge x existiert eine Menge y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind.

(AUS) Aussonderungsschema:
Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge x gibt es eine Menge y, die genau die Elemente von x enthält, auf die E zutrifft.

(UN) Unendlichkeitsaxiom:
Es existiert eine Menge x, die die leere Menge als Element enthält und die mit jedem ihrer Elemente y auch {y} als Element enthält.

(ERS) Ersetzungsschema:
Zu jeder funktionalen Eigenschaft E und jeder Menge M existiert eine Menge N, die genau diejenigen y als Elemente enthält, für welche ein x aus M existiert, so dass der Menge x durch E die Menge y zugeordnet wird.

(POT) Potenzmengenaxiom:
Zu jeder Menge x existiert eine Menge y, die genau die Teilmengen von x als Elemente besitzt.

(AC) Auswahlaxiom:
Zu jeder Menge F, deren Elemente nicht leer sind, existiert eine Funktion, die jedem x aus F ein y aus x zuordnet.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

G. Cantor
D. Hilbert
K. Gödel
F. Hausdorff

Falls Sie Interesse an dem Gebiet gefunden haben und sich weiter darüber informieren möchten sind folgende Lehrbücher zu empfehlen:

Oliver Deiser, Einführung in die Mengenlehre
Springer-Verlag ISBN 3-540-42948-4

Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence proofs
North Holland (1980)

Thomas Jech, Set Theory, Millenium Edition
Springer-Verlag