Logik
Gleich zu Beginn sollte erwähnt werden, dass die mathematische Logik nicht dem entspricht, was man sich im ersten Moment unter Logik
vorstellt.
Es geht hier nicht darum, ob gewisse Dinge logisch erscheinen und damit auch richtig sein müssen, sondern um eine Präzisierung und
Abstrahierung der mathematischen Sprache.
Hierfür ist zunächst die Aussagenlogik wichtig.
Sie beschreibt die Verknüpfung gegebener Aussagen durch Begriffe wie und, oder, folgt aus und Ähnlichem.
Bezeichnen wir z.B. die Aussage "es regnet" mit A und "die Straße wird nass" mit B, so gilt sicherlich:
"Aus A folgt B", da immer, wenn es regnet, die Straße nass wird.
Es wird jedoch durch "aus A folgt B" keine Aussage darüber getroffen, ob die Straße auch nass wird, wenn es nicht regnet.
Ein weiteres Beispiel ist die Verwendung der logischen Verknüpfung oder.
Dieses logische oder hat nicht die Funktion eines entweder oder, wie es im üblichen Sprachgebrauch oftmals verwendet wird,
sondern bedeutet, dass mindestens eine der verknüpften Aussagen gilt.
(Sagt man beispielsweise: "Du isst jetzt auf, oder du musst ins Bett", so heißt das nicht, dass man entweder aufessen oder ins Bett muss.
Rein mathematisch-logisch gesehen könnte es passieren, dass man aufisst und trotzdem ins Bett muss.)
Den anderen Fall, den des entweder oder, das in der Mathematik als ausschließendes oder bezeichnet wird, kann man erreichen,
indem man sagt "(A oder B) und nicht (A und B)".
Weiter gibt es die Prädikatenlogik, welche die Eigenschaften von Relationen und Operationen einer logischen Analyse unterzieht.
Sie führt sprachliche Partikel wie für alle oder es gibt ein und verfeinert somit die sprachlichen Ausdrucksmittel, um neue
Beschreibungsmöglichkeiten zu gewinnen.
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| Sokrates | Platon | Aristoteles | Francis Bacon |
Einen absoluten Höhepunkt der mathematischen Logik stellen die Unvollständigkeitssätze von K. Gödel (1906-1978) dar.
Diese lauten wie folgt:
1. Unvollständigkeitssatz: In jeder "einigermaßen interessanten" Theorie lassen sich Probleme formulieren, die in dieser Theorie nicht
lösbar sind.
2. Unvollständigkeitssatz: Die Widerspruchsfreiheit jeder "einigermaßen interessanten" Theorie ist mit ihren eigenen Mitteln nicht
beweisbar.
Hierbei ist zu erwähnen, dass "einigermaßen interessant" in diesem Zusammenhang bereits heißt, dass in der Theorie mit natürlichen Zahlen
gerechnet werden kann.
Diese Ergebnisse stellten die ganze Mathematik vor große Probleme.
Der Wunsch eines jeden Mathematikers war es nämlich schon immer, ein System aus Axiomen zu haben, aus welchem heraus sich alle Aussagen,
die in diesem System getroffen werden können, entweder bewiesen oder widerlegt werden können.
Gödel jedoch zeigte nicht nur, dass dieser Wunsch in dem vorliegenden System nicht erfüllbar ist, sondern bewies gleichzeitig, dass es in
jedem beliebigen "einigermaßen interessanten" System immer Fragen geben wird, die nicht entscheidbar sind.
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| Rene Descartes | G. Wilhelm Leibniz | George Boole | Gottlob Frege | Guiseppe Peano |
Die Logik, abstammend von dem griechischen Wort logos (was soviel heißt wie Wort, Gedanke, Sinn, Denken oder auch Vernunft)
entwickelte sich über mehrere Stufen bis zu der heute üblichen mathematischen Logik.
Der Beginn ist in etwa der Zeit des griechischen Gelehrten Sokrates (469-399 v.Chr.) zuzuordnen, der als Erster die Kunst der
logischen Diskussion einführte, welche von seinem Schüler Platon (428-348 v.Chr.) fortgeführt und zu ersten Ansätzen von
Beweisführung entwickelt wurde.
Nichtsdestotrotz wird diese erste Phase die "aristotelische Logik", nach
Aristoteles (384-322 v.Chr.) benannt, da dieser die ersten
wissenschaftlichen Schriften über die Logik hinterließ.
Die zweite, als "terministische Logik" bezeichnete Periode, erstreckt sich über das gesamte Mittelalter.
In Hinsicht auf die formale Logik wurden in dieser Zeit kaum Fortschritte erzielt, da der Einfluss der Kirche auch auf die Philosophie eine
Weiterentwicklung wenn auch nicht verhinderte, so doch zumindest stark einschränkte.
Erst mit der Reformation entstand die Möglichkeit, die Logik von der katholischen Lehre unabhängig zu machen und es entstand die Periode
der "traditionellen formalen Logik" (ca. 16. - 19. Jahrhundert).
Neben F. Bacon und R. Descartes (1596-1650) leistete
besonders G.W. Leibniz (1646-1716) hier bedeutende
Beiträge, etwa bei dem ersten Versuch, logische Tatbestände mit Hilfe mathematischer Methoden und mathematischer Begriffsbildungen zu
erfassen.
Durch seine beiden Werke The Mathematical Analysis of Logic (1847, dt.: Die mathematische Analyse der Logik) und
An Investigation of the Laws of Thought (1854, dt.: Eine Untersuchung der Gesetze des Denkens) legte
G.Boole (1815-1869) dann die Grundlage der Logik.
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| Bertrand Russell | Alfred N. Whitehead | David Hilbert | Kurt Gödel | Alfred Tarski |
Doch begann die "moderne mathematische Logik" erst im Jahre 1879 mit dem
Erscheinen des Werks Begriffsschrift, Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens von
G. Frege (1848-1925).
Da es unter anderem die erste Formulierung der Aussagenlogik als mathematisch-logisches System enthält, wird es heutzutage als die
"Geburtsurkunde der modernen mathematischen Logik" angesehen.
Die heute vorherrschende Symbolik der mathematischen Logik wurde von
G. Peano (1858-1932) geliefert.
Die Leistungen Freges wurden als erstes von B. Russell
(1872-1970) erkannt, welcher dessen Absichten folgte, sich jedoch der Symbolik Peanos und seiner Schule anschloss.
Seine Arbeit gipfelte in dem dreibändigen Werk Principia Mathematica, in einer Gemeinschaftsarbeit mit
A.N. Whitehead (1861-1947).
Wesentlich zur Herausbildung der heutigen mathematischen Logik haben auch
D. Hilbert (1861-1943) durch seine Arbeiten zur
Beweisführung und sein Schüler W. Ackermann (1896-1962) beigetragen.
Die mit Abstand bedeutendsten Arbeiten der modernen mathematischen Logik lieferte jedoch K. Gödel, unter anderem mit seinen oben
erwähnten Unvollständigkeitssätzen.
Durch seine Arbeiten gerieten immer stärker die Bereiche der semantischen Fragen und der metalogischen Probleme (Probleme,
die logische Systeme als Ganzes betreffen) in den Vordergrund, in welchen vor allem
A. Tarski (1901-1983) wichtige Ergebnisse lieferte.
In jüngerer Vergangenheit spaltete sich das Gebiet der Logik in eine ganze Anzahl eigener Themengebiete auf, wobei besonders die
algorithmische Logik, welche sich mit der Untersuchung von Programmeigenschaften befasst und die gegenwärtig in jeder
Computerwissenschaft zu finden ist, genannt werden sollte.
Interview mit Prof. Rautenberg
Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der mathematischen Logik.
Zunächst muss ich sagen, dass sich das Gebiet der mathematischen Logik sehr von dem der philosophischen oder der "Alltags-Logik"
unterscheidet.
Die mathematische Logik befasst sich damit, exakte Beweistechniken zu analysieren und in ein System zu bringen, damit sie
übersichtlicher werden.
Die empfundene Unendlichkeit der Möglichkeiten für Beweise und Ähnliches zeigt sich in Wahrheit als Endliches.
Durch die Axiomatisierung der mathematischen Logik können echte "theorem-proving" Maschinen gebaut werden.
Das bedeutet, dass Computer einem auch die geistige Arbeit abnehmen oder zumindest erleichtern werden.
Beim Studium der mathematischen Logik muss man sich auf eine formale Ebene begeben und Formalisierungstechniken erlernen.
Ohne diese Techniken wäre beispielsweise die Informatik heute längst nicht so weit.
Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
In meinem Studium in Ost-Berlin musste man zu Beginn des 4. Studienjahres ein Fachseminar besuchen, was bei mir ein Logik-Seminar
war.
Meine Vorträge wurden von dem Professor geschätzt und ich bekam bei ihm eine Assistentenstelle, was damals weitaus schneller und
unproblematischer vonstatten ging.
Seit wann arbeiten Sie in diesem Gebiet?
Seit Beginn meiner akademischen Laufbahn, also seit 1960.
Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Das Faszinierende an der mathematischen Logik ist, dass sie Probleme lösen kann, die mathematisch als unlösbar galten, siehe die
Kontinuumshypothese.
Dadurch wird einem z.B. gezeigt, dass es Barrieren in unseren Theorien gibt, die nicht überwunden werden können.
Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in Ihrem Gebiet?
Anwendungen sind schon in einfachsten Programmieraufgaben durch die Aussagenlogik zu erkennen.
Elementare Aussagenverknüpfungen mit Begriffen wie "und", "oder", ... werden so verwendet, wie sie die mathematische Logik präzisiert.
Was gibt es für Aussichten (Berufschancen)?
Die Aussichten und Berufschancen sind hervorragend.
Alle meine ehemaligen Studenten verdienen inzwischen als Leiter von Softwarefirmen das Dreifache von meinem Gehalt.
Woran arbeiten Sie zurzeit?
Ich arbeite derzeit im Gebiet der Selbstreferenz.
Es handelt sich um Aussagen, die sich auf die Sprache referenzieren, in der sie gesprochen wurden.
Z.B. das alte Problem der Lügner-Antinomie: Jemand sagt aus, dass er jetzt gerade lügt.
Stimmt dieser Satz oder ist er gelogen?
Das Thema der Selbstreferenzen befasst sich nicht nur damit, solche Paradoxa zu vermeiden, sondern grundlagentheoretisches Kapital
daraus zu gewinnen.
Gab es für Sie ein besonderes Ereignis auf diesem Gebiet?
Ein bedeutendes Ereignis für mich war, als es Cohen, eigentlich ein Außenseiter, gelang zu beweisen, dass die Kontinuumshypothese
unabhängig von den Axiomen ist.
Was war für Sie das bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker der mathematischen Logik?
Historisch gesehen ist das Kurt Gödel durch seine Unvollständigkeitssätze, die aussagen, dass durch axiomatische Systeme unser
Wissen nicht vollständig erfasst werden kann.
Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:
