Lineare Algebra

Wahrscheinlich kennt jeder Aufgaben der Preisklasse:

Vier Geschwister erben 42.000 €, die sie unter folgenden Bedingungen zu teilen haben. Der Zweitjüngste soll ein Sechstel mehr bekommen als die Jüngste. Der Zweitälteste soll ein Siebtel mehr bekommen als der Dritte und die Älteste ein Achtel mehr als der Zweite. Wie muss geteilt werden?

Manch einer kommt evtl. durch Raten auf die Lösung - die Anteile sind 12.600 €, 11.200 €, 9.800 € und 8.400 €. Sinnvoller ist es aber, das Problem in ein lineares Gleichungssystem umzuformulieren und rechnerisch zu lösen.
Auch viele andere Probleme des täglichen Lebens lassen sich mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen lösen, und genau darin liegt der Ursprung der Linearen Algebra: Sie ist - als ein Teilgebiet der Algebra - aus der Untersuchung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen hervorgegangen.
Lineare Gleichungssysteme sind praktisch überall anzutreffen, wenn es darum geht, ein Problem rechnerisch zu lösen. Während der Bemühungen, ein besseres Verständnis der Problematik zu erlangen, wurde im 17. Jahrhundert unter anderem die Theorie der Determinanten entwickelt. Eine Determinante ist eine Zahl, mit deren Hilfe man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems entscheiden und mit der man unter Umständen auch eine konkrete Lösung angeben kann. Sie kann durch die Koeffizienten der Unbestimmten berechnet werden und taucht in den verschiedensten Gebieten der Linearen Algebra, auch bei scheinbar ganz andersartigen Fragestellungen, auf.
Heute können viele Probleme, bei denen man es auf den ersten Blick gar nicht erwarten würde, auf das Lösen linearer Gleichungssysteme zurückgeführt werden. Besonders seit Beginn des Computerzeitalters werden viele Berechnungen so durchgeführt. Mit Problemumformulierungen solcher Art beschäftigt sich u.a. die Numerik.

Seki Kowa	Gottfried Leibniz	C.F. Gauß	Gabriel Cramer

Die Lehre der Vektorräume und die Beziehungen zwischen diesen bildet die axiomatische Grundlage der Linearen Algebra. Zahlreiche konkrete Situationen bzw. Strukturen sind mit solchen Vektorräumen identifizierbar. Ein Vektorraum ist im Wesentlichen eine Menge, deren Elemente man als Vektoren bezeichnet, die man addieren und zusätzlich mit Zahlen, so genannten Skalaren, multiplizieren kann. Dabei gelten die üblichen Rechengesetze. Ein Paradebeispiel ist natürlich der dreidimensionale (anschauliche) Raum, bei dem man die Punkte im Raum mit Vektoren identifiziert. Ein einfacheres Beispiel aber ist die Menge der reellen Zahlen. Auch diese kann als Vektorraum aufgefasst werden, da man zwei reelle Zahlen (= Vektoren) addieren und sie mit anderen, z.B. rationalen Zahlen (= Skalare), multiplizieren kann.
Die Beziehungen zwischen zwei Vektorräumen werden durch bestimmte Abbildungen dargestellt, welche linear genannt werden. Nützlich sind solche Abbildungen z.B., um Eigenschaften von einem Vektorraum auf einen anderen zu übertragen. Einen großen Raum im Gebiet der Linearen Algebra nimmt die Matrizenrechnung ein. Sie ist besonders wichtig, da ganz verschiedene Sachverhalte durch Matrizen dargestellt werden können. Eine Matrix ist ein rechteckiges, tabellarisches Zahlenschema. Man kann Matrizen addieren und auch eine Multiplikation definieren. Sie eignen sich sehr gut zur schematischen Darstellung von ganz verschiedenen Strukturen, wie z.B. den linearen Gleichungssystemen.
Wegen dieser Allgemeinheit, die durch die Behandlung von Matrizen erreicht wird, befasst sich ein Großteil der Linearen Algebra mit der Vereinfachung von Matrizen. Eine Matrix wird als einfach angesehen, wenn möglichst viele Einträge gleich Null sind. Das wohl bekannteste Verfahren, welches zur Lösung linearer Gleichungssysteme 1849 eingeführt wurde, ist der Gaußsche Algorithmus, bei dem die Matrix so lange umgeformt wird, bis sich unterhalb der Diagonalen nur noch Nullen befinden.

Pierre Laplace	J.-L. Lagrange	Augustin Cauchy	Arthur Cayley	August Möbius

Während die Geschichte der Algebra bereits im alten Ägypten und Griechenland begann, fing die Entwicklung der Linearen Algebra als Teilgebiet erst so richtig im 17. Jahrhundert mit der Einführung der Determinantentheorie an. Unabhängig voneinander wurde diese von Seki Kowa (1642-1708) in Japan und G. Leibniz (1646-1716) in Europa entwickelt, wobei der Name Determinante zum ersten Mal im 18. Jahrhundert von C.F. Gauß (1777-1855) benutzt wurde. 1750 entdeckte der Schweizer Physiker G. Cramer (1704-1752) die nach ihm benannte Regel, mit der Gleichungssysteme mit derselben Anzahl an Gleichungen und Unbekannten konkret gelöst werden können. Während des 18. Jahrhunderts beschäftigten sich unter anderem E. Bézout (1730-1783), A. Vandermonde (1735-1796), P. Laplace (1749-1827) und J.L. Lagrange (1736-1813) mit dem Thema der Determinante, und 1815 betrachtete A. Cauchy (1789-1857) als Erster Determinanten als spezielle Funktionen von quadratischen Matrizen. (Eine solche Funktion schmückt übrigens das Hintergrundbild.) A. Cayley (1821-1895) führte 1855 die Matrizenschreibweise ein und legte damit den Grundstein dafür, lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme als Matrizen aufzufassen.
Ab dem 20. Jahrhundert wandte man sich dann von dem Problem des Lösens linearer Gleichungssysteme ab, und man beschäftigte sich hauptsächlich mit dem Begriff des Vektorraums in größerer Allgemeinheit. Hierbei sind vor allem A. Möbius (1790-1868), C. Carathéodory (1873-1950) und H. Weyl (1885-1955) zu nennen, die die Vorarbeit leisteten. Sie hielten z.B. fest, dass lineare Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen anhand von Matrizen dargestellt werden können. Hierbei spielt der Begriff der Basis eine zentrale Rolle, denn durch geeignete Wahl der Basen kann eine Matrix in eine möglichst einfache Form überführt werden (z.B. Diagonalform, d.h. alle nicht auf der Diagonalen befindlichen Einträge sind Null). Basierend darauf konnte 1922 S. Banach (1892-1945) als Erster ein Axiomensystem für reelle Vektorräume angeben.

Constantin Carathéodory	Hermann Weyl	Stefan Banach	William Hamilton

Die Lineare Algebra ist heutzutage ein Bestandteil fast jeder mathematischen Disziplin. Es ist daher nicht verwunderlich, dass sie neben der Analysis eine der Grundlagenvorlesungen im Mathematikstudium ist. Sie gehört jedoch nicht nur zum Grundgerüst für das Mathematikstudium an der Universität, sondern findet auch Anwendung in vielen nichtmathematischen Disziplinen, wie z.B. der Physik, der Bildverarbeitung, u.s.w.

Interview mit Dr. Heindorf

Bitte beschreiben Sie kurz das Gebiet der Lineare Algebra.
Die Lineare Algebra besteht aus zwei Komponenten:
Erstens geht es um das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit vielen Gleichungen und vielen Unbekannten.
Zweitens geht es darum, Fragen der mehrdimensionalen Geometrie mit Hilfe von Koordinatensystemen zu lösen.

Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in diesem Gebiet?
Die in der Linearen Algebra untersuchten Strukturen sind Vektorräume, und die tauchen in praktisch allen mathematischen Gebieten auf. Daher ist es sinnvoll, diese Strukturen erst einmal abstrakt zu untersuchen, um die Ergebnisse dann in vielen konkreten Situationen anwenden zu können. Auch didaktisch ist es gut, vor dem Studium wesentlich komplizierterer Strukturen mit den relativ einfach aufgebauten Vektorräumen zu beginnen.
Im täglichen Leben ist es so, dass praktisch alle Dinge, die rechnend gelöst werden, so lange umgeformt werden, bis sie als ein lineares Gleichungssystem dargestellt und die Ergebnisse bzw. Rechenregeln der Linearen Algebra angewandt werden können.

Was fasziniert Sie an diesem Gebiet?
Was mich fasziniert ist, dass es immer wieder neue elegante Ideen und Beweise gibt, um schon bekannte Ergebnisse darzustellen. Z.B. habe ich gerade einen neuen tollen Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra gelesen.

Woran arbeiten Sie derzeit?
Zurzeit beschäftige ich mich weniger mit Linearer Algebra, sondern eher mit einem Gebiet, welches man als universelle Algebra bezeichnet.

Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Ich bin eher ein Einzelgänger und arbeite allein. Allerdings finde ich oft Anregungen in Gesprächen mit Kollegen.

Wie lange arbeiten Sie so an einem Problem?
Das ist schwer zu sagen und hängt natürlich vom Problem ab. Falls ich das Problem nicht lösen kann, sind es so zwei bis drei Monate. In der Regel greife ich das Problem dann später noch mal auf.

Was ist das Ihrer Meinung nach bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker der Linearen Algebra?
Das bedeutendste Ergebnis und den bedeutendsten Mathematiker kann ich so nicht benennen. Was mich aber immer wieder verwundert, ist der Satz von Cayley und W. Hamilton (1805-1865), dass jede Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

G. Leibniz
C.F. Gauß
A. Möbius