Differentialgleichungen

Es ist wohl jedem noch folgende Aufgabe bekannt: Lösen Sie eine Gleichung nach der Unbekannten auf. Schon in der Schule trifft man ständig auf solche Aufgaben. Man berechnet Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte von Polynomen, gebrochen-rationalen Funktionen oder Ähnlichem. Die Aufgabe liegt also darin, dass einem eine Funktion gegeben ist, und man diese nach der Unbekannten (meist wird diese mit x bezeichnet) auflöst. Bei den Differentialgleichungen sieht es ein wenig anders aus. Hier ist die Aufgabe so gestellt, dass die Funktion f(x) aus einer Gleichung errechnet werden soll, in der eine oder mehrere ihrer Ableitungen (f'(x), f''(x), usw.) vorkommen.
Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Gleichung f'(x) = f(x). Es ist also die Funktion gesucht, deren Ableitung (d.h. deren Steigung) in jedem Punkt gleich dem eigentlichen Funktionswert ist. Wie vielen bekannt sein wird, erfüllt dieses Kriterium nur die Exponentialfunktion, jedoch mit beliebigem Vorfaktor. Alle Funktionen der Form f(x) = ce^x besitzen also die gewünschte Eigenschaft (erfüllen die Gleichung), wobei c jede beliebige reelle Zahl sein darf. Hier ist auch zu erkennen, dass eine Differentialgleichung nicht eindeutig lösbar sein muss, da es ja durch die verschiedenen Möglichkeiten für c unendlich viele Lösungen gibt. Gibt man zusätzlich zu der Differentialgleichung noch einen speziellen Punkt vor, soll z.B. f(0) = 1 sein, so erhält man statt den unendlich vielen Lösungen f(x) = ce^x nur noch die eine f(x) = e^x. Ein solches Problem (eine Differentialgleichung und ein vorgegebener Punkt) bezeichnet man als "Anfangswertproblem".
Natürlich ist dies nur ein sehr einfaches Beispiel einer Differentialgleichung. Andere Möglichkeiten wären auch Gleichungen der Form 5f'''(x)f'(x) - 2[f(x)''/f'(x)] = 17f²(x), oder ähnliche Gleichungen mit beliebig vielen und beliebig hohen Ableitungen.
Dass man zu solchen Überlegungen und Gleichungen gelangte ist kein Zufall oder mathematische Spielerei. Differentialgleichungen beschreiben viele Situationen in der Welt, gerade in der Physik. Der freie Fall (Erdanziehung) beispielsweise wird durch f''(x) - g = 0 beschrieben, wobei g die Gravitationskonstante ist. Auch die Flugbahn eines Satelliten, die Bewegung der Planeten um die Sonne oder schwingende Pendel werden durch Differentialgleichungen beschrieben. Doch spielen die Differentialgleichungen heutzutage nicht nur in physikalischen und technischen Systemen eine große Rolle, auch beschreiben sie in der Biologie Wachstumsmodelle oder werden in den Wirtschaftswissenschaften zu Hilfe genommen um Wachstumszyklen zu modellieren.

Isaac Newton	Gottfried Leibniz	Jakob Bernoulli	Daniel Bernoulli	Leonhard Euler

Zu unterscheiden sind auch zwei Arten von Differentialgleichungen:
Zum einen die "gewöhnlichen Differentialgleichungen". Dies sind solche, bei denen die gesuchte Funktion nur von einer Variable abhängt, wie auch in unseren Beispielen. Daneben gibt es jedoch auch die "partiellen Differentialgleichungen", bei denen die Funktion von mehreren Variablen abhängt. Der Name ist ziemlich einleuchtend, da man bei Funktionen in mehreren Variablen ja auch nicht mehr von einer "Ableitung", sondern von "partiellen Ableitungen" spricht, da unterschieden werden muss, nach welcher Variable denn differenziert (abgeleitet) wird. Natürlich sind partielle Differentialgleichungen im Allgemeinen schwieriger zu lösen, als gewöhnliche, jedoch sind sie dadurch auch weitaus aussagekräftiger und vielseitiger anzuwenden.

Joseph-Louis Lagrange	Carl-Friedrich Gauß	Augustin Cauchy	Carl-Gustav Jacobi	Karl Weierstraß

Die Anfänge der Theorie der Differentialgleichungen fallen etwa in die Zeit der Begründung der Differential- und Integralrechnung durch I. Newton (1643-1727) und G. Leibniz (1646-1716) zu Ende des 17. Jahrhunderts. Nachdem recht schnell nachgewiesen werden konnte, dass selbst einfache Differentialgleichungen nicht zwingend lösbar sein müssen, begann man auch schon recht frühzeitig damit nicht nur Lösungen durch bekannte Funktionen auszudrücken, sondern versuchte Lösungen vorgegebener Differentialgleichungen zu bestimmen, ohne dass deren Lösungen explizit bekannt waren. Man versuchte also die Lösungen allein aus den Eigenschaften der Differentialgleichung zu bestimmen.
Im 18. Jahrhundert kamen dann Mathematiker wie J. Bernoulli (1654-1705), der Differentialgleichungen benutzte, um mit ihrer Hilfe die Planetenbahnen zu beschreiben oder L. Euler (1707-1783), der wahrscheinlich einer der bedeutendsten Mathematiker auf diesem Gebiet war. Er erkannte als Erster die Rolle der Exponential-, Logarithmus- und trigonometrischen Funktionen für die Theorie. Abgesehen davon entwickelte er neue Funktionen auf der Grundlage von Reihen, welche aus der Lösung bestimmter Differentialgleichungen hervorgingen. 1728 benutzte dann D. Bernoulli (1700-1782) Eulers Methoden, um Oszillationen und derartige Differentialgleichungen zu erforschen. Der erste Mathematiker, der wirklich genug Theorie zur Verfügung hatte, um wirklich eine gründliche Analyse der Differentialgleichungen vorzunehmen war J.L. Lagrange (1736-1813), der auch die allgemeinen Gleichungen für Bewegungen dynamischer Systeme einführte.
Der nächste große Schritt war dann die Einführung von Funktionen mit komplexen Variablen, was zu großen Teilen von C.F. Gauß (1777-1855) und A. Cauchy (1789-1857) bewerkstelligt wurde. Gauß erkannte, dass die Theorie der komplexen Funktionen einen wichtigen Schlüssel im Verständnis der Differentialgleichungen darstellte. Cauchy lieferte eine komplette Theorie über Konvergenz unendlicher Reihen, welche für Lösungen von Differentialgleichungen eine wichtige Rolle spielen sollten.

Rudolf Lipschitz	Sofia Kowalewskaja	Tolme Runge	David Hilbert	Ivar Fredholm

Ab der Mitte des 19. Jahrhunderts wurden dann weitere neue Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen benötigt, welche mit Hilfe von den von C.G. Jacobi (1804-1851) bereitgestellten Theorien der Determinanten und Transformationen ermöglicht wurden. Diese entwickelten sich zu einem wichtigen Werkzeug. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts gelang es dann R. Lipschitz (1832-1903) Existenzaussagen über Lösungen von Differentialgleichungen erster Ordnung (dies sind Gleichungen in denen nur die erste Ableitung und keine höheren auftreten) zu entwickeln. Weiterentwickelt wurde die Theorie dann von S. Kowalewskaja (1850-1891) und K. Weierstraß (1815-1897) und im 20. Jahrhundert durch die Ergebnisse, welche von I. Fredholm (1866-1927) und D. Hilbert (1862-1943) erzielt wurden. Auch T. Runge (1856-1927) sollte hier noch erwähnt werden, da er als Erster effiziente numerische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen entwickelte.

Interview mit Prof. Ecker

Beschreiben Sie bitte kurz das Gebiet der Differentialgleichungen.
Differentialgleichungen spielen eine wichtige Rolle in vielen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik. Diese sind Gleichungen welche bestimmte Ableitungen einer Funktion in Beziehung zueinander setzen. Die Wärmeleitungsgleichung verlangt zum Beispiel, das bei einer Funktion von Ort und Zeit die Zeitableitung gleich der zweiten Ortsableitung ist. Die Aussagen 'Ein Objekt bewegt sich mit vorgegebener Geschwindigkeit oder Beschleunigung durch den Raum' oder 'Eine Fläche im Raum hat konstante Krümmung' lassen sich durch Differentialgleichungen formulieren.

Wie sind Sie zu diesem Gebiet gekommen?
Der Besuch von Vorlesungen in Analysis und Differentialgleichungen während meines Studiums hat mich für das Gebiet der Differentialgleichungen eingenommen.

Seit wann arbeiten Sie in diesem Gebiet?
Seit meines Studiums, also seit etwa 1980.

Was fasziniert Sie speziell an diesem Gebiet?
Die interessante Mischung aus teilweise sehr technischer (detailintensiver) Mathematik und allgemeiner Lösungstheorie von Gleichungen (nichtlineare Analysis) sowie die vielseitige Anwendbarkeit wie z.B. in der Differentialgeometrie und Physik.

Wo liegen die Anwendungsmöglichkeiten in Ihrem Gebiet?
Zusätzlich zu den bereits erwähnten Anwendungen, spielen Differentialgleichungen eine wichtige Rolle in anderen Naturwissenschaften wie z.B. der Biologie und der Chemie sowie im Finanzbereich.

Was gibt es für Aussichten (Berufschancen)?
Außerhalb des Universitätsbereiches gibt es gute Berufschancen vor allem bei Beratungsfirmen, bei Versicherungen und bei Banken. Allein drei meiner ehemaligen Doktoranden kamen in Forschungsabteilungen bei Banken unter sowie bei einer 'stock broking' Firma.

Woran arbeiten Sie zurzeit?
Ich arbeite auf dem Gebiet der geometrischen Evolutionsgleichungen. Dieses sind partielle Differentialgleichungen, welche in etwa einer Wärmeleitungsgleichung entsprechen. Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt, wie eine anfänglich ungleichmäßige Wärmeverteilung sich allmählich ausgleicht, wenn keine äußeren Einflüsse mehr wirken. Bei geometrischen Evolutionsgleichungen wird statt einer Wärmeverteilung eine geometrische Struktur 'ausgeglichen', dass heißt, diese strebt in einem gewissen Sinne zu einer optimalen Struktur. Zum Beispiel kann man so mit Hilfe einer Differentialgleichung eine relativ beliebige Fläche in eine Fläche konstanter Krümmung, wie z.B. eine Sphäre deformieren.

Arbeiten Sie normalerweise allein oder in Teams?
Das hängt von den Umständen ab. Ich arbeite viel alleine an mathematischen Problemen, diskutiere aber auch gerne mathematische Probleme mit Kollegen. Oft enstehen aus solchen Diskussionen dann gemeinsame Projekte.

Wie lange arbeiten Sie so an einem bestimmten Problem?
Das ist auch unterschiedlich. Manchmal kann es vorkommen, dass man jahrelang über ein schwieriges Problem nachdenkt und man nur langsam Fortschritte macht. Diese Investition an Zeit ist aber selten vergeblich. Nach einer längeren Periode intensiver Beschäftigung mit einem Problem passiert es dann doch oft, dass einem eine Lösungsmöglichkeit einfällt, wenn man am wenigsten damit rechnet. Das sind dann sehr schöne Augenblicke für einen Mathematiker.

Gab es für Sie ein besonderes Ereignis auf diesem Gebiet?
Richard Hamilton hat Anfang der 80er Jahre eine geometrische Evolutionsgleichung eingeführt, den so genannten Riccifluss für Metriken. Vor etwa einem Jahr kündigte Grigori Perelman einen auf Hamilton's Ricciflusstheorie basierenden Beweis der berühmten Poincaré Vermutung aus der Topologie an. Dieser Beweis wird zur Zeit noch überprüft, aber es ist jetzt schon klar, dass hierdurch völlig neue Beziehungen zwischen bisher relativ verschiedenen Gebieten der Mathematik wie z.B. der Geometrie, Topologie, Analysis und der Stochastik aufgezeigt wurden.

Was war für Sie das bedeutendste Ergebnis, wer der bedeutendste Mathematiker im Gebiet der Differentialgleichungen?
Hier müsste ich eine sehr lange Liste anführen, die dann immer noch nicht vollständig wäre.

Hier gibt es noch die Möglichkeit, sich über einige der oben vorgestellten Mathematiker und deren Leben auch auf Deutsch einen Überblick zu verschaffen:

Newton
G.W. Leibniz
J. Bernoulli
D. Bernoulli
Euler
Gauß
Hilbert