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Annuitätenkredit

Annuitätenkredit

Ein Annuitätenkredit ist ein Kredit, der in gleichbleibenden Raten zurückgezahlt wird. Die zu zahlende Rate wird Annuität (lat. annus: Jahr) genannt und setzt sich zusammen aus einer Tilgungs- und einer Zinszahlung. Früher waren jährliche Zahlungen die Regel, wohingegen heutzutage häufig auch monatliche oder vierteljährliche Raten gezahlt werden, so dass der Begriff Annuität unabhängig von dem Zeitraum verwendet wird. Mit jeder Annuität sinkt der Anteil der Zinsen und steigt der Tilgungsanteil, im Gegensatz zum Tilgungsdarlehen, bei dem die Tilgung konstant bleibt. Am Ende der Laufzeit ist die Schuld vollständig getilgt.

Ein Annuitätenkredit wird in der Regel zur Abzahlung langfristiger Kredite verwendet (Laufzeit mehr als fünf Jahre) und findet häufig im Bereich der Bau- und Immobilienfinanzierung Verwendung. Ein Bauherr kann in der Regel nicht gerade zu Beginn besonders hohe Rückzahlungen leisten wie beim Tilgungsdarlehen.

Definitionen

  • K: Kredit
  • T: Abzahldauer (in Jahren)
  • n: Zahlungen pro Jahr
  • A: Annuität
  • T_k: Tilgung zum k-ten Zeitpunkt
  • Z_k: Zins zum k-ten Zeitpunkt
  • R_k: Restschuld zum k-ten Zeitpunkt
  • i: Jahreszinssatz (in Prozent)
  • q = 1 + \frac{i}{n}: Aufzinsungsfaktor

Formeln

Mit obigen Definitionen gilt A = T_k + Z_k für k = 1, 2, \ldots n T. Der Jahreszinssatz beträgt i, somit ist der Zinssatz pro Zeitspanne \frac{i}{n}. Der Zinsanteil zum k-ten Zeitpunkt ist gegeben durch die Zinsen der Restschuld R_{k-1}, also

Z_k = R_{k-1} \frac{i}{n} = (K - T_1 - T_2 - \cdots - T_{k-1}) \frac{i}{n},

wobei R_0 = K ist.

Wir wollen nun eine Formel für die Annuität A herleiten und betrachten dazu zunächst die Gleichungen

\begin{eqnarray*} A & = & T_1 + Z_1 = T_1 + K \frac{i}{n} \\ A & = & T_2 + Z_2 = T_2 + (K - T_1) \frac{i}{n} \\ \ldots \\ A & = & T_k + Z_k = T_k + (K - T_1 - T_2 - \cdots - T_{k-1}) \frac{i}{n} \\ A & = & T_{k+1} + Z_{k+1} = T_{k+1} + (K - T_1 - T_2 - \cdots - T_{k-1} - T_k) \frac{i}{n}. \end{eqnarray*}

Setzen wir die letzten beiden Gleichungen gleich, so erhalten wir

T_{k+1} = T_k + T_k \frac{i}{n} = \left(1+\frac{i}{n}\right) T_k = T_k q.

Diese Gleichung stellt eine homogene Rekursionsgleichung für T_k erster Ordnung dar und lässt sich mit dem aus der ersten Gleichung erhaltenen Anfangswert T_1 = A - K \frac{i}{n} in Abhängigkeit von A einfach lösen:

T_k = T_1 q^{k-1} = \left(A - K \frac{i}{n}\right) q^{k-1}.

Stellen wir nun eine Formel für die Restschuld nach k Zahlungen auf. Die geometrische Reihe liefert zunächst

T_1 + T_2 + \cdots + T_k = \sum_{j=1}^k T_j = \sum_{j=1}^k T_1 q^{j-1} = \sum_{j=0}^{k-1} T_1 q^j = T_1 \frac{q^k-1}{q-1} = K - \left(A - K \frac{i}{n}\right) \frac{q^k-1}{q-1}

und damit (beachte: \frac{i}{n} = q - 1 im ersten Schritt der zweiten Zeile)

\begin{eqnarray*} R_k & = & K - (T_1 + T_2 + \cdots + T_k) = K - \left(A - K \frac{i}{n}\right) \frac{q^k-1}{q-1} \\ & = & \left(1 + \frac{i}{n} \frac{q^k-1}{q-1}\right) K - A\frac{q^k-1}{q-1} = \left(1 + q^k - 1\right) K - A\frac{q^k-1}{q-1} = K q^k - A\frac{q^k-1}{q-1}. \end{eqnarray*}

Wir fordern, dass die Summe aller Tilgungen über die Gesamtdauer den Kredit ergeben, d.h.

T_1 + T_2 + \cdots + T_{n T} = \sum_{j=1}^{n T} T_j = K

und damit auch die Restschuld über die Gesamtdauer verschwindet, also R_{nT} = 0. Daraus können wir, unter Zuhilfenahme der Formel für die Restschuld, die Annuität bestimmen. Es ergibt sich

A = K q^{n T} \frac{q-1}{q^{n T} - 1}.

Die Zinsentwicklung können wir mit der Gleichung

Z_k = A - T_k

berechnen. Es ergibt sich die Formel

Z_k = (1-q^{k-1})A + (q-1)q^{k-1}K = K\frac{(q-1)(q^{nT+1}-q^k)}{q(q^{nT}-1)}.

Der Gesamtzins Z berechnet sich mit der geometrischen Reihe aus (ohne Beweis)

Z = \sum_{k=1}^{n T} Z_k = K \frac{q^{nT}\left((q-1)nT-1\right)+1}{q^{nT}-1}.

Beispiel

Wir haben einen Annuitätenkredit von 100.000 € gegeben, welcher über einen Zeitraum von 10 Jahren vierteljährlich mit dem Jahreszinssatz 3,0% abgezahlt werden soll. Welche Annuität ergibt sich? Wie sieht der Tilgungsplan aus?

Die Größen K = 100.000, T = 10, n = 4 und i = 0,03 sind gegeben. Folglich ist q = 1+\frac{i}{n} = 1,0075. Daraus erhält man die Annuität

A = K q^{nT} \frac{q-1}{q^{nT}-1} \approx 2903,02.

Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus

k T_k Z_k A R_k
1 2153,02 750,00 2903,02 97846,98
2 2169,16 733,85 2903,02 95677,82
3 2185,43 717,58 2903,02 93492,39
4 2201,82 701,19 2903,02 91290,57
5 2218,34 684,68 2903,02 89072,23
6 2234,97 668,04 2903,02 86837,26
7 2251,74 651,28 2903,02 84585,52
8 2268,62 634,39 2903,02 82316,90
9 2285,64 617,38 2903,02 80031,26
10 2302,78 600,23 2903,02 77728,48
... ... ... ... ...
31 2694,01 209,01 2903,02 25173,72
32 2714,21 188,80 2903,02 22459,51
33 2734,57 168,45 2903,02 19724,94
34 2755,08 147,94 2903,02 16969,86
35 2775,74 127,27 2903,02 14194,12
36 2796,56 106,46 2903,02 11397,56
37 2817,53 85,48 2903,02 8580,03
38 2838,67 64,35 2903,02 5741,36
39 2859,96 43,06 2903,02 2881,40
40 2881,41 21,61 2903,02 0,00
Summen 100000,00 16120,62 116120,62

Wir vergleichen das Annuitätsdarlehen mit dem Tilgungsdarlehen.

k T_k Z_k Rate R_k
1 2500,00 750,00 3250,00 97500,00
2 2500,00 731,25 3231,25 95000,00
3 2500,00 712,50 3212,50 92500,00
4 2500,00 693,75 3193,75 90000,00
5 2500,00 675,00 3175,00 87500,00
6 2500,00 637,50 3156,25 85000,00
7 2500,00 618,75 3137,50 82500,00
8 2500,00 600,00 3118,75 80000,00
9 2500,00 581,25 3100,00 77500,00
10 2500,00 562,50 3081,25 75000,00
... ... ... ... ...
31 2500,00 187,50 2706,25 22500,00
32 2500,00 168,75 2687,50 20000,00
33 2500,00 150,00 2668,75 17500,00
34 2500,00 131,25 2650,00 15000,00
35 2500,00 112,50 2612,50 12500,00
36 2500,00 93,75 2593,75 10000,00
37 2500,00 75,00 2575,00 7500,00
38 2500,00 56,25 2556,25 5000,00
39 2500,00 37,50 2537,50 2500,00
40 2500,00 18,75 2518,75 0,00
Summen 100000,00 15375,00 115375,00

Die Raten bei dem Annuitätsdarlehen sind gleichbleibend, wohingegen die Anfangsraten beim Tilgungsdarlehen hoch und die Endraten niedrig sind. Aus diesem Grund muss man bei dem Annuitätenkredit bei gleicher Laufzeit einen höheren Gesamtzins zahlen als bei dem Tilgungsdarlehen.

Allerdings kommt in der Praxis ein Tilgungsdarlehen in der Regel gar nicht in Frage, da sich nach Aufnahme eines Kredits keiner die hohen Anfangsraten leisten kann. Bei gleich hohen Anfangsraten aber ist die Laufzeit eines Tilgungsdarlehens wesentlich länger und damit auch die Zinsbelastung höher.

Programm zur Bestimmung des Tilgungsplans (Annuitätenkredit/Tilgungskredit)

Geben Sie die Größen K, T, i und n an:

K:  
T:  
i:  
n:  

Der Zinsanteil (rot), die Tilgung (blau) und die Rate (schwarz) werden für jeden Zeitpunkt angezeigt.


wk/ts