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Winkel und Längen im rechtwinkligen Dreieck

Das Problem

Es sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben Dann können sich zwei Arten von Fragen stellen. Erstens: Es sind die Längen zweier Seiten des rechtwinkligen Dreiecks bekannt, und gefragt ist nach der Größe eines Winkels (abgesehen vom rechten Winkel). Oder zweitens: Es ist die Größe eines Winkels und eine Seitenlänge gegeben, und gesucht wird die Länge einer weiteren Seite. In Abhängigkeit davon, welche Seitenlängen genau gegeben sind, werden hierbei der Sinus (sin), Cosinus (cos) oder Tangens (tan) angewandt. Die Seiten im rechtwinkligen Dreieck haben eigene Namen: Die Hypotenuse ist die Seite, die gegenüber vom rechten Winkel liegt, also die längste, die anderen beiden sind die Katheten. Hierbei unterscheidet man zudem noch zwischen der Ankathete, das ist die Seite, die zusammen mit der Hypotenuse den zu untersuchenden Winkel eingrenzt und der Gegenkathete. Dies ist die Seite, die gegenüber des betreffenden Winkels liegt.

Die Lösung

In dem Lösungsansatz wird nun nach Sinus, Cosinus und Tangens unterteilt. (Das zugehörige Bild findet man weiter unten.)

Sinus: 1. Fall: Der Sinus wird benötigt, wenn z.B. der Winkel gesucht ist und die Länge der Gegenkathete und der Hypotenuse vorliegt. Denn hier gilt:
sin = Gegenkathete/Hypotenuse. Um nun einen Wert für konkret zu bestimmen, muss man nur danach auflösen:
= sin-1 (Gegenkathete/Hypotenuse) = arcsin (Gegenkathete/Hypotenuse).

2. Fall: Der Sinus wird auch dann verwendet, wenn z.B. der Winkel und die Länge der Hypotenuse gegeben sind und man die Länge der Gegenkathete bestimmen will. Hierzu verwendet man wieder dieselbe Formel wie zuvor und formt sie für die Gegenkathete um:
Gegenkathete = (sin )*Hypotenuse.
Um die Länge der Hypotenuse bei vorgegebener Gegenkathete und dem Winkel zu berechnen, formt man die Gleichung wie folgt um:
Hypotenuse = Gegenkathete/(sin ).

Cosinus: 1. Fall: Der Cosinus wird benötigt, wenn z.B. der Winkel gesucht ist und die Länge der Ankathete und der Hypotenuse vorliegt. Denn hier gilt:
cos = Ankathete/Hypotenuse. Um nun einen Wert für konkret zu bestimmen, muss man nur danach auflösen:
= cos-1 (Ankathete/Hypotenuse) = arccos (Ankathete/Hypotenuse).

2. Fall: Der Cosinus wird auch dann verwendet wenn z.B. der Winkel und die Länge der Hypotenuse gegeben sind und man die Länge der Ankathete bestimmen will. Hierzu verwendet man wieder dieselbe Formel wie zuvor und formt sie für die Ankathete um:
Ankathete = (cos )*Hypotenuse.
Um die Länge der Hypotenuse bei vorgegebener Ankathete und dem Winkel zu berechnen, formt man die Gleichung wie folgt um:
Hypotenuse = Ankathete/(cos ).

Tangens: 1. Fall: Wenn nur die Längen der beiden Katheten bekannt sind, dann benötigt man den Tangens um den gesuchten Winkel zu bestimmen. Das liegt daran, dass gilt:
tan = (sin )/(cos ) = (Gegenkathete / Hypotenuse) : (Ankathete / Hypotenuse) = Gegenkathete/Ankathete .
Somit erhält man für die Größe des Winkels:
= tan-1(Gegenkathete/Ankathete) = arctan (Gegenkathete/Ankathete).

2. Fall: Man verwendet den Tangens auch, wenn z.B. die Länge der Gegenkathete und die Größe des Winkels gegeben sind und nach der Länge der Ankathete gefragt ist. Hierbei wird die zuvor erwähnte Formel wie folgt umgeformt:
Ankathete = Gegenkathete /(tan ).
Genauso kann man bei gegebener Länge der Ankathete und der Größe des Winkels die Länge der Gegenkathete berechnen:
Gegenkathete = Ankathete*tan .

Beispiele

Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a, b, c. Der rechte Winkel wird von den Seiten a, b und der Winkel von den Seiten b, c eingeschlossen. Also:

Folglich ist c die Hypotenuse, b die Ankathete und a die Gegenkathete.
(Die Ergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.)

  • Gegeben seien die Seiten a = 2 cm, b = 4 cm .
    Gesucht ist der Winkel .
    Hier liegt jetzt Tangens 1. Fall vor und folglich ist: = tan-1(a/b) =tan-1(1/2) = 26.57° .
  • Gegeben seien die Seite a = 4 cm und der Winkel = 45° .
    Gesucht ist die Seite c .
    Hier liegt jetzt Sinus 2. Fall vor und folglich ist: c = a/ sin() = 4 cm / sin(45°) = 5.657 cm.
  • Gegeben seien die Seiten b = 3 cm, c =10 cm .
    Gesucht ist die Seite a und der Winkel .
    Hier sollte man die Reihenfolge beachten. Nach Betrachtung der Fälle kann man erkennen, dass es sinnvoll ist zuerst zu berechnen. Hier liegt jetzt Cosinus 1. Fall vor und folglich gilt: = cos-1(b/c) = cos-1(3/10) = 72.54° .
    Mit diesem errechneten Wert kann man nun auch die Länge der Seite a bestimmen. Hier kann man sich nun aussuchen, ob man den Sinus oder Tangens benutzt.
    Zunächst betrachten wir Sinus 2. Fall: a = c*sin() =10*sin() = 9.54 cm.
    Jetzt betrachten wir Tangens 2. Fall: a = b*tan() = 3*tan() = 9.54 cm.

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