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Sinus- und Cosinussatz

Problem

Es sind Seitenlängen oder Winkel eines ebenen Dreiecks aus gegebenen Längen dieses Dreiecks zu berechnen. Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, so kann man meist ganz leicht mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Winkelfunktionen vorgehen. Ist jedoch das Dreieck nicht rechtwinklig, so kann man mit Hilfe des Sinus- und des Cosinussatzes vorankommen. Um diese Sätze soll es in diesem Artikel gehen.

Notation

Wir werden im Folgenden ein festes Dreieck betrachten

dessen Größen wir - im Bild angedeutet - wie folgt bezeichnen:

  • Die Eckpunkte mit A, B, C in der Reihenfolge, dass die alphabetische Sortierung mit der mathematisch positiven Umlaufrichtung zusammenfällt.
  • Die Winkel mit α, β und γ, wobei α bei A, β bei B und γ bei C liegt.
  • Die Seiten mit a, b und c, wobei sich mit gleichen Buchstaben bezeichnete Seiten und Punkte gegenüberliegen. Zwecks Vereinfachung wollen wir in der Notation nicht zwischen den Seiten und ihren Längen unterscheiden.

Sinussatz - Aussage und Beweis

Der Sinussatz ist im gewissen Sinne eine Präzisierung der Beobachtung, dass längeren Seiten die größeren Winkel gegenüberliegen, genauer:

Die Längen der Seiten im Dreieck ABC verhalten sich wie die Sinus1 der gegenüberliegenden Winkel, d.h. es gilt

Das erscheint - zumindest so der qualitative Aspekt - doch recht plausibel, aber das ist natürlich kein Beweis. Einen solchen wollen wir hier kurz geben, da er auch den Umgang mit Längen und Winkeln am Dreieck übt. Sollten Sie daran nicht interessiert sein, können Sie ihn überspringen und gleich hier weiterlesen.
Zum Beweis betrachten wir unser Ausgangsdreieck

Da uns die Winkelfunktionen von der Definition her nur aus rechtwinkligen Dreiecken bekannt sind, sollten wir versuchen, unser Problem auf ein Problem mit rechtwinkligen Dreiecken zurückzuführen. Zeichnen wir doch einmal die Höhe hc ein, das ist die Gerade durch C, die auf der Geraden durch c senkrecht steht, und bezeichnen den Schnittpunkt mit (der Geraden durch) c mit S:

Wir haben nun zwei rechtwinklige Dreiecke ASC und SBC vor uns. Wir wollen etwas über den Sinus von α und β aussagen, also drücken wir diese doch einmal in Größen der rechtwinkligen Dreiecke aus. Es ist der Sinus das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse (siehe auch hier), wir erhalten:

  • Im Dreieck ASC ist hc die Gegenkathete von α und b die Hypotenuse, also gilt
  • Im Dreieck SBC ist hc die Gegenkathete von β und a die Hypotenuse, also gilt

Setzen wir beide Gleichungen zusammen, so folgt

Damit sind wir aber fertig, denn für γ und c ergibt sich unsere Behauptung vollkommen analog (denn Namen sind Schall und Rauch), das soll heißen: In einem Dreieck sind alle drei Seiten resp. Winkel gleichberechtigt, was wir hier für a und b gemacht haben, hätten wir mit gleichem Recht (und Ergebnis) auch mit b und c oder mit c und a machen können. Hierbei sei gleich auf ein wichtiges Prinzip für Formeln über Winkel und Seiten in Dreiecken hingewiesen:

Zyklische Vertauschung

Eine Formel, die Winkel und Seiten beliebiger ebener Dreiecke in Beziehung setzt, bleibt richtig, wenn man zyklisch vertauscht, d.h. man ersetzt jede Dreiecksgröße durch die nächste (alphabetisch, nach c fange wieder bei a an), dieses Vorgehen heißt deshalb zyklische Vertauschung, weil das Vertauschen anhand folgender Diagramme abläuft:

Als Beispiel sei hier noch einmal der Sinussatz betrachtet: Wir wissen bereits, dass für beliebige ebene Dreiecke stets

ist. Vertauschen wir zyklisch, so ergibt sich, dass auch

stets richtig ist.

Der Cosinussatz - Aussage und Beweis

Der Cosinussatz ist eine Anpassung des Satzes von Pythagoras für beliebige ebene Dreiecke. Wir betrachten dazu ein rechtwinkliges Dreieck

Machen wir nun γ stumpfer, so wird die Quadratfläche über a und b kleiner

wird γ spitzer, so werden die Flächen entsprechend größer, es ergibt sich

Es ist also anschaulich einleuchtend, wie sich a2 + b2 im Vergleich zu c2 ändert, wenn wir γ ändern. Der Cosinussatz macht dieses Verhältnis präziser, er besagt:

In einem ebenen Dreieck ABC gilt stets

Auch dieser Satz erscheint qualitativ plausibel (der Cosinus wird kleiner, wenn γ größer wird, ist negativ, wenn γ größer als 90 ist, und positiv, falls γ kleiner ist). Auch diesen Satz wollen wir exercendi causa beweisen, Sie können den Beweis überspringen und gleich mit den Beispielen fortfahren.

Für den Beweis behandeln wir zunächst den spitzen Fall, das heißt ein Dreieck der Form


Wir betrachten wieder eine - schon eingezeichnete Höhe - diesmal allerdings über der Seite a, der Schnittpunkt von ha und a heiße S. Wir erhalten die zwei rechtwinkligen Dreiecke ABS und SCA. Betrachten wir zunächst das Dreieck ABS, so erhalten wir nach Pythagoras, dass
und genauso ist in SCA
Setzen wir unsere Gleichungen zusammen, so ergibt sich, da ja a = BS + CS ist, dass
Im Dreieck SCA ist nun aber CS die Ankathete von γ und b die Hypotenuse, d.h., es ist
und wir erhalten schließlich
Das aber hatten wir behauptet.
Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks geht man genauso vor, wieder erhalten wir - da alle Seiten gleichberechtigt sind - durch zyklische Vertauschung die ebenfalls wahren Aussagen:

Beispiele

Die folgenden Beispiele sollen die Anwendung des Sinus- und des Cosinussatzes zur Berechnung mancher Größen eines Dreiecks aus anderen illustrieren. In der Regel reichen drei Größen aus, um die anderen zu berechnen.

  • Seien etwa a = 3, b = 4 und c = 6 gegeben. Wir wollen alle Winkel berechnen.
    Vergewissern wir uns zunächst einmal, dass die gegebenen Seiten tatsächlich die drei Seiten eines Dreiecks sein können, dazu muss die Summe je zweier Seiten länger sein als die dritte, hier ist
    Da uns nun alle drei Seiten bekannt sind, kennen wir im Cosinussatz alle bis auf eine auftretende Größe, d.h. wenn wir
    nach cos α auflösen, können wir α berechnen, wir erhalten durch Umformen:
    Setzen wir ein, so erhalten wir
    und damit können wir α berechnen:
    Zur Berechnung von β haben wir nun zwei Möglichkeiten: Wir können den Sinus- oder den Cosinussatz benutzen, in so einem Fall empfiehlt es sich, den Cosinussatz zu benutzen, da der Cosinus im Gegensatz zum Sinus einen Winkel zwischen 0 und 180 eindeutig bestimmt, so ist zum Beispiel sin 150 = sin 30. Wir berechnen also β mit Hilfe des Cosinussatzes, dabei wissen wir, dass
    Wir setzen ein und es folgt
    und damit
    Nun müssen wir noch γ berechnen, wir können entweder erneut den Cosinussatz benutzen, oder, was einfacher scheint, ausnutzen, dass die Winkelsumme im ebenen Dreieck stets 180 beträgt, wir erhalten also
    Damit haben wir alle fehlenden Teile des Dreiecks berechnet und können nun zum Beispiel das Dreieck skizzieren:
  • Als Nächstes betrachten wir a = 4, b = 2, γ = 50.
    Haben wir zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben, so können wir mit Hilfe des Cosinussatzes offenbar die letzte Seite berechnen, wir haben
    Da Seitenlängen stets positiv sind, können wir die Wurzel ziehen, und erhalten
    Nun haben wir alle drei Seiten und können wie im letzten Beispiel einen zweiten Winkel mit dem Sinus oder dem Cosinussatz berechnen, wir entscheiden uns für den Cosinussatz und erhalten wegen
    dass
    also
    Den Winkel α können wir nun erneut mit Hilfe der Dreieckswinkelsumme berechnen, es ist
    Damit können wir auch das Dreieck skizzieren:
  • Wir wollen nun ein Beispiel betrachten, in dem die Anwendung des Sinussatzes nötig ist: Es seien c = 4, α = 50, β = 70, und wir wollen die restlichen Größen berechnen.
    Zunächst können wir natürlich γ mit Hilfe der Winkelsumme bestimmen, es ist
    Mit Hilfe des Sinussatzes können wir nun eine der anderen Seiten berechnen, denn wir kennen doch mit c und γ den stets gleichen Quotienten von Seiten und Winkelsinus, es ist
    Wir setzen ein und erhalten \begin{eqnarray*} a &=& 4 \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 60^\circ}\\ &\approx& 3,54 \end{eqnarray*} Genauso erhalten wir wegen
    dass \begin{eqnarray*} b &=& 4 \cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 60^\circ}\\ &\approx& 4,34 \end{eqnarray*} Damit haben wir alles berechnet:
  • Mal angenommen, wir wissen, dass a = 5, b = 3 und α = 20 und wollen die anderen Stücke berechnen.
    Zunächst fällt uns auf, dass wir eine Seite und ihren gegenüberliegenden Winkel gegeben haben, hier a und α. Damit ist uns der Quotient aus dem Sinussatz bekannt, wir können damit aus dem dritten Stück (hier b) die entsprechende Seite resp. den entsprechenden Winkel (hier β) berechnen. Es ist
    durch Einsetzen erhalten wir
    und damit muss β einen der folgenden Werte haben \[ \beta_1 = 11,84^\circ \mbox{ oder } \beta_2 = 168,16^\circ. \] Haben wir zwei Winkel so können wir, da die Winkelsumme im Dreieck stets 180 beträgt, den dritten berechnen, es ergeben sich für unsere beiden γ-Werte entsprechend: \[ \begin{eqnarray*} \gamma_1 &=& 180^\circ - \alpha - \beta_1\\ &=& 180^\circ - 20^\circ - 11,84^\circ\\ &=& 148,16^\circ\\ \mbox{oder } \gamma_2 &=& 180^\circ - \alpha - \beta_2\\ &=& 180^\circ - 20^\circ - 168,16^\circ\\ &=& -8,16^\circ. \end{eqnarray*} \] Da γ2 < 0, scheidet diese Lösung aus und es gilt γ = γ1 = 11,84°. Damit haben wir alle Größen bis auf c bestimmt, es bietet sich an, c mit Hilfe des Sinussatzes zu bestimmen. Wir haben doch
    Damit ergibt sich für den Wert von c \[ \begin{eqnarray*} c &=& \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha} \cdot a\\ &=& \frac{\sin 148,16^\circ}{\sin 20^\circ} \cdot 5\\ &\approx& 7,7 \end{eqnarray*} \] Wir haben also zusammengefasst als Lösung \[ \begin{eqnarray*} c &=& 7,7\\ \beta &=& 11,84^\circ\\ \gamma &=& 148,16^\circ \end{eqnarray*} \] Hier wieder eine Skizze des Dreiecks:
  • Zuletzt betrachten wir die Aufgabe, wo a = 3, b = 4 und α = 45° gegeben und β, γ und c gesucht sind. Wir bekommen mit Hilfe des Sinussatzes \[ \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\alpha)}{a} \quad \Leftrightarrow \quad \sin(\beta) = \frac{b\ \sin(\alpha)}{a}\] Durch Einsetzen folgt \[ \sin(\beta) = \frac{4\ \sin(45°)}{3} \approx 0.9428 \] Somit gibt es für β die folgenden zwei Möglichkeiten: \[ \beta_1 = 70,53^\circ \qquad {\rm oder} \qquad \beta_2 = 109,47^\circ \] Mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck berechnen wir hieraus die möglichen Werte für γ \[ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \] Also \[ \gamma_1 = 180^\circ - 45^\circ - 70,53^\circ = 64,47^\circ \qquad {\rm oder} \qquad \gamma_2 = 180^\circ - 45^\circ - 109,47^\circ = 25,53^\circ \] Mit Hilfe des Cosinussatzes können wir nun c berechnen: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2\ a\ b\ \cos(\gamma) \] Das Einsetzen der beiden Werte von γ ergibt \[ c_1 = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2\ 3\ 4\ \cos(64,47^\circ)} \approx 3,83 \qquad {\rm oder} \qquad c_2 = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2\ 3\ 4\ \cos(25,53^\circ)} \approx 1,83 \] Damit haben wir die zwei gültigen Lösungen: \[ \begin{array}{lclclcl} \beta_1 & = & 70,53^\circ & & \beta_2 & = & 109,47^\circ\\ \gamma_1 & = & 64,47^\circ & {\rm oder} & \gamma_2 & = & 25,53^\circ\\ c_1 & = & 3,83 & & c_2 & = & 1,83\\ \end{array} \] Das es hier tatsächlich zwei Lösungen gibt, kann man sich in der folgenen Skizze klar machen, in der beide Lösungen eingezeichnet sind:
    Um das Dreieck geometrisch zu konstruieren, zeichnet man zunächst die Strecke b. Dann zeichnet man an diese Strecke eine bei A startende Halbgerade unter dem Winkel α zu b ein. Zuletzt schlägt man einen Kreis mit einem Radius von a Einheiten um C. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Halbgeraden sind die möglichen Punkte B. Aus dieser Konstruktion wird klar, dass es hier entweder zwei, eine oder gar keine Lösung geben kann.

Programm zum Dreieck

Hier kann man das Rechnen mit dem Sinussatz und dem Cosinussatz üben. Man gibt drei Größen ein und kann sich die fehlenden drei Größen berechnen lassen. Es kann auch eine Aufgabe zufällig generiert werden.

Man beachte:

  • Dezimalzahlen mit Punkt eingeben.
  • Bitte nur positive Zahlen eingeben.
  • Die Winkel liegen sinnvoll im Intervall (0°,180°).
  • Nur drei Textfelder sind auszufüllen, die restlichen Felder müssen leer bleiben.
  • Die Eingabe der drei Winkel α, β und γ ist nicht zulässig.
  • Die berechneten Werte werden auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  • Die angezeigte Skizze des Dreiecks ist rein schematisch und spiegelt nicht die tatsächlichen Verhältnisse wider.

Länge der Seite a:       Dreieck
Länge der Seite b:  
Länge der Seite c:  
 
Winkel α: °
Winkel β: °
Winkel γ: °


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1. Das Wort Sinus kommt aus dem Lateinischen und heißt Bogen, der Plural ist Sinus (mit langem u) und nicht etwa Sini oder Sinusse (trotz Duden). zurück