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Die Strahlensätze

Dieser Artikel befasst sich mit den Strahlensätzen. Diese sind ein wichtiges Hilfsmittel der ebenen Geometrie zur Berechnung der Längen oder der Konstruktion gewisser Strecken:

Die grundlegende Situation

Die zugrundeliegende Situation ist hierbei folgende: Wir betrachten einen Punkt O in der Ebene und von ihm ausgehend zwei verschiedene Strahlen, die von zwei den Punkt O nicht enthaltenden Geraden in den Punkten A und B beziehungsweise C und D geschnitten werden:

In dieser Situation bestehen zwischen den Strecken der Figur stets bestimmte Verhältnisgleichungen, welche als die Strahlensätze bezeichnet werden. Zur Notation: Wir werden mit \(|AB|\) die Länge der Strecke von Punkt A zum Punkt B bezeichen. Genauso werden völlig analog alle übrigen Strecken mit Hilfe ihres Anfangs- und Endpunktes notiert.

Die Strahlensätze

Erster Strahlensatz

Werden zwei Strahlen gemeinsamen Anfangspunktes von parallelen Geraden geschnitten, so folgt, dass sich die Längen der Abschnitte auf dem einen Strahl wie die Längen der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen verhalten.

Verwendet man die Verhältnisgleichungen der entsprechenden Strecken, dann kann man den ersten Strahlensatz wie folgt in Kurzform notieren:

Sind die Geraden auf den Strahlen parallel, so folgt \[ \frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OB|}{|OD|} \qquad und \qquad \frac{|OA|}{|AC|} = \frac{|OB|}{|BD|} \qquad und \qquad \frac{|OC|}{|AC|} = \frac{|OD|}{|BD|}. \]

Erstaunlicherweise gilt sogar die Umkehrung des ersten Strahlensatzes, mit der wir Kriterien bekommen zur Untersuchung, ob Geraden auf Strahlen parallel zueinander sind:

Gilt \[ \frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OB|}{|OD|} \qquad oder \qquad \frac{|OA|}{|AC|} = \frac{|OB|}{|BD|} \qquad oder \qquad \frac{|OC|}{|AC|} = \frac{|OD|}{|BD|}, \] so sind die zugehörigen Geraden auf den Strahlen parallel.

Man muss also nur die Gültigkeit einer der drei Verhäultnisgleichungen nachweisen, um die Parallelität der Geraden zu verifizieren.

Zweiter Strahlensatz

Werden zwei Strahlen gemeinsamen Anfangspunktes von parallelen Geraden geschnitten, so folgt, dass sich die Längen auf den Parallelen wie die vom Anfangspunkt gemessenen Längen der entsprechenden Abschnitte auf den Strahlen verhalten.

Wieder kann der Satz mit Hilfe der Verhältnisgleichungen in Kurzform notiert werden:

Sind die Geraden auf den Strahlen parallel, so folgt \[ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|OA|}{|OC|} \qquad und \qquad \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|OB|}{|OD|}. \]

Wie sieht es hier mit der Umkehrung aus?
Prüft man nur eine der beiden Verhältnisgleichungen nach, so folgt aus ihrer Gültigkeit noch nicht, dass die Geraden parallel sind! Dazu betrachte man das folgende Bild:

Hier gilt natürlich im parallelen Fall auf Grund des zweiten Strahlensatzes: \[ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|OA|}{|OC|}. \] Betrachtet man nun aber den Kreisbogen um C mit dem Radius \(|CD|\), so gibt es auf dem oberen Strahl zwei Schnittpunkte mit dem Kreisbogen: Den Punkt D' und den Punkt D. Aber auch der Punkt D' erfüllt auf Grund seiner Konstruktion die Verhältinisgleichung \[ \frac{|AB|}{|CD'|} = \frac{|OA|}{|OC|}, \] da \(|CD|=|CD'|\) und die Verhältnisse auf dem unteren Strahl bei beiden Punkten gleich sind. Die Verhältinisgleichung mit dem oberen Strahl stimmt für D' jedoch nicht mehr: \[ \frac{|AB|}{|CD'|} \neq \frac{|OB|}{|OD|}, \] da aus \(|OB|>|OD'|\) und \(|AB|<|CD'|\) gerade \[ \frac{|AB|}{|CD'|} < 1 < \frac{|OB|}{|OD'|} \] folgt (Streckenlängen sind immer positiv!). Um die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes zu retten, muss man also die Verhältinisgleichung auf beiden Strahlen überprüfen:

Gilt \[ \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|OA|}{|OC|} \qquad und \qquad \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|OB|}{|OD|}, \] so sind die zugehörigen Geraden auf den Strahlen parallel.

Im Folgenden wollen wir zunächst einige Anwendungsbeispiele für die Strahlensätze geben und danach zum Abschluss des Artikels noch auf die Beweise der Strahlensätze eingehen.

Anwendungsbeispiele

  • Im Rahmen der Landvermessung sei eine Strecke über einen See zu messen, etwa folgende:
    Wie soll dies nun geschehen. Eine Möglichkeit ist, mit Hilfe des ersten Strahlensatzes vorzugehen. Es bietet sich an, folgende Hilfsstrecken zu betrachten:
    Nun kann man die Strecken OA, OB und AC messen und erhält nach dem ersten Strahlensatz, da die Paare OA und OB sowie BD und AC sich entsprechende Abschnitte sind, dass
    Damit wäre nun die gesuchte Strecke über den See berechnet.
    Aber auch der zweite Strahlensatz kann zur Berechnung der gesuchten Länge benutzt werden. Dazu muss man nur andere Hilfslinien betrachten:
    Hier berechne man nun die Längen EF, O'E und O'B und erhält nach dem zweiten Strahlensatz - es sind EF und O'E sowie BD und O'B Paare sich entsprechender Abschnitte -, dass
    Wieder konnte mit Hilfe eines der Strahlensätze die gesuchte Entfernung bestimmt werden.
  • Die Strahlensätze können nicht nur zur Berechnung unbekannter Streckenlängen, sondern auch für Konstruktionen, z. B. zur Teilung einer Strecke, herangezogen werden.
    Betrachten wir dazu etwa die Aufgabe, die Strecke
    in fünf gleiche Teile zu unterteilen. Dies kann wie folgt geschehen: Man zeichne durch einen der Anfangspunkte der Strecke einen Strahl (der die Strecke nicht enthält).
    Danach trage man auf dem Strahl, beginnend am Anfangspunkt fünfmal die gleiche Länge ab und verbinde den letzten Punkt mit dem Endpunkt der Strecke.
    Nun konstruiere man Parallelen zu dieser Strecke durch die anderen Unterteilungspunkte.
    Die so konstruierten Schnittpunkte mit der Ursprungsstrecke unterteilen sie in fünf gleiche Teile: Denn die per Konstruktion gleichlangen Stücke auf dem Strahl und die Stücke auf der Strecke stehen nach dem ersten Strahlensatz im gleichen Verhältnis (und das ist nach Konstruktion Eins).

Herleitung der Strahlensätze

Dieser letzte Abschnitt beschäftigt sich mit der Herleitung der Strahlensätze ("Warum ist das eigentlich richtig?").

Die Gültigkeit der Strahlensätze folgt im Wesentlichen aus der Tatsache, dass zwei Dreiecke genau dann ähnlich sind, wenn sie gleichgroße Winkel haben.
In unserer Grundsituation

betrachten wir die Dreiecke OAB und OCD. Da die Geraden durch A und B sowie durch C und D parallel sind und Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen gleich sind, haben die betrachteten Dreiecke Winkel gleicher Größe und sind somit ähnlich, d. h. sie gehen auseinander durch eine zentrische Streckung hervor. Für eine reelle Zahl a (den Streckungsfaktor) ist also

Damit folgen nun die Strahlensätze, denn für den ersten haben wir

und für den zweiten zusätzlich

Das zeigt die Gültigkeit der Strahlensätze.