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Der Satz des Pythagoras und der Reiz, beliebig viele natürliche Zahlentripel zu finden

  1. Das bekannte Beispiel, mit Hilfe einer Schnur und drei Pflöcken einen rechten Winkel zu konstruieren, finden wir in der so genannten „Gärtnerkonstruktion“.
    a) Wir müssen lediglich auf einem Stück Schnur 13 Knoten im gleichen Abstand anbringen, dann die Knoten 1 und 13 verknüpfen, so dass eine geschlossene Schlinge mit 12 Knoten entsteht.
    b) Bei den Knoten 1, 4 und 9 setzen wir je einen Pflock und spannen die geschlossene Schlinge.
a) b)

Es entsteht somit das gewünschte rechtwinklige Dreieck. Die Knotenabstände zwischen den Pflöcken betragen 3 (Gegenkathete), 4 (Ankathete), 5 (Hypotenuse) Längeneinheiten.

Grundlage dieses bekannten Zahlentripels (3,4,5)
ist der Satz des Pythagoras in der allgemeinen Form: \(a^2+b^2=c^2\)
und mit eingesetztem Zahlentripel \( 3^2+4^2=5^2\)
ausgerechnet: ( 9 + 16 = 25)

  1. Betrachten wir diese Form näher, so können wir – abgesehen davon, dass es sich hier um die Quadrate unseres Zahlentripels handelt – feststellen, dass die zwei kleineren Zahlen (3 und 4) die so genannten Katheten und die größte der drei Zahlen (5), die so genannte Hypotenuse, das gewünschte, rechtwinklige Dreieck ergeben. Außerdem stellen wir fest, dass in dem Zahlentripel eine ungerade (3) und eine gerade Kathete (4) mit einer ungeraden Hypotenuse (5) kombiniert wird.
  2. Um beliebig viele natürliche Zahlentripel zu finden, die den Satz des Pythagoras erfüllen, bilden wir einen Ausschnitt (= Teilmenge) der Quadratzahlen in aufsteigender Form. In der Folge ermitteln wir jeweils zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen die Differenz. Wir stellen fest, dass die Differenzen die Reihe der ungeraden Zahlen in aufsteigender Form bilden.
\(1^2\) \(2^2\) \(3^2\) \(4^2\) \(5^2\) \(6^2\) \(7^2\) \(8^2\) \(9^2\) \(10^2\) \(11^2\) \(12^2\) \(13^2\) \(14^2\) \(15^2\) \(16^2\)
  3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31  
  1. Betrachten wir die Differenzen, so stellen wir fest, dass – zwar bei immer größer werdenden Abständen – ungerade Zahlen vorkommen, die in Quadratzahlen umgewandelt werden können. Beispiele: \({\bf 9} = 3^2, {\bf 25} = 5^2\) , usw.
  2. Greifen wir also die ungeraden Zahlen, die sich in Quadratzahlen umwandeln lassen, heraus, und kombinieren diese mit den darüber befindlichen, beiden benachbarten Quadratzahlen, so stellen wir fest, dass dieses Quadratzahlentripel den Satz des Pythagoras erfüllt.
  3. In eine Tabelle eingetragen, sieht für die Basiszahlen der Tripel folgendermaßen aus:
Ankathete (a) 3 5 7 9 11 13 15 17
Gegenkathete (b) 4 12 24 40 60 84 112 ...
Hypotenuse (c) 5 13 25 41 61 85 113 ...
  1. Da sich die Suche nach weiteren Zahlentripeln auf diese Weise recht aufwändig gestaltet, nehmen wir die Tabelle genauer unter die Lupe.
    Wir betrachten dazu die Folge der Basiszahlen (a,b,c).
    • In Zeile Ankathete (a) reihen sich die ungeraden Zahlen ab der Zahl 3 kontinuierlich mit Abstand 2.
    • In Zeile Gegenkathete (b) stehen ausschließlich gerade Zahlen mit steigendem, nicht linearem Abstand.
    • In Zeile Hypotenuse (c) stehen ausschließlich ungerade Zahlen, die jeweils um 1 größer als die darüber stehenden Zahlen in Zeile (b) sind.
  2. Wollen wir nun ein nächstfolgendes Zahlentripel in die Tabelle eintragen, so wissen wir auf triviale Weise, welche ungerade Zahl in Zeile (a) auf den Vorgänger folgt. Wenn wir jetzt die zum Zahlentripel dazu gehörende Zahl in Zeile (b) ermitteln können, ergibt sich in Zeile (c) die dazu gehörende Zahl, indem wir eine 1 hinzuzählen. Um auf ein mögliches Bildungsgesetz für die gesuchten Basiszahlen in Zeile (b) zu kommen, zerlegen wir die geraden Zahlen in Faktoren.

    Zahl in zwei Faktoren zerlegt in drei Faktoren zerlegt
    4 2 • 2 2 • 1 • 2
    12 2 • 6 2 • 2 • 3
    24 2 • 12 2 • 3 • 4
    40 2 • 20 2 • 4 • 5
    60 2 • 30 2 • 5 • 6
    ... ... ...

In allgemeiner Formel umgesetzt, wobei der Faktor 2 vorangestellt ist und für \(n_1 = \) sowie für \(n_1 + 1 = n_2\) geschrieben wird, lautet die Tabelle wie folgt:

Zahl 2 • Vorgänger • Nachfolger verkürzte Form
4 \(2 • n_1 • ( n_1 + 1)\) \( 2 • n_1 • n_2 = 2 n_1 n_2\)
12 \(2 • n_2 • ( n_2 + 1)\) \( = 2 n2 n3\)
24 \(2 • n_3 • ( n_3 + 1)\) \( = 2 n_3 n_4\)
40 \(2 • n_4 • ( n_4 + 1)\) \( = 2 n_4 n_5\)
60 \(2 • n_5 • ( n_5 + 1)\) \( = 2 n_5 n_6\)
... ... ...

Allgemein gilt für jede beliebige Zahl der Zeile (b):
\( b_y = 2 n_y (n_y + 1)\) oder vereinfacht: \(b = 2 n (n + 1)\)

  1. Konsequenterweise folgt nun für eine beliebige Zahl der Zeile (c): \(C_y = 2 n_y ( n_y + 1) + 1\) oder vereinfacht: c = 2 n ( n + 1) + 1
    Durch Anwendung des Vertauschungsgesetzes wird daraus: C = 1 + 2 n ( n + 1)
  2. Die ungeraden Zahlen der Zeile (a) lassen sich in allgemeiner Form schreiben:
    a = 2 n + 1 oder a = 1 + 2 n
  3. Der Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke \(( a^2 + b^2 = c^2 )\) lässt sich mit den drei Binomen zusammenbauen. Er lautet nun für beliebig viele natürlichen Zahlentripel:
    \( ( 1 + 2 n )^2 + ( 2 n ( n + 1 ) )^2 = ( 1 + 2 n ( n + 1 ) )^2\)

Roman Vallendor (Oberkirch)

Der Artikel von Roman Vallendor liefert eine einfache Herleitung unendlich vieler pythagoreischer Zahlentripel. Schon im Altertum war bekannt, dass es diese gibt. Die letzte Formel des obigen Artikels liefert allerdings nicht alle möglichen pythagoreischen Tripel. Eine Formel für alle möglichen Zahlentripel kann man z. B. auf http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel nachlesen.