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Prozentrechnung

Das Problem

Es ist eine Aufgabe zu lösen, in der Prozente auftreten. Es ist etwa eine Mehrwertsteuer zu berechnen, ein Betrag ist nach einem vereinbarten Schema aufzuteilen oder Ähnliches.

Erläuterung

Das Wort Prozent ist von dem Lateinischen pro centum entlehnt, was von hundert heißt. Ein Prozent ist also eins von hundert, d.h. ein Hundertstel. Prozentrechnung ist also Rechnen mit Brüchen - man kann aber auch mit Hilfe eines Dreisatz-Ansatzes herangehen, mehr dazu unten.
Anstelle von Prozent schreibt man oft %, was man auch als Prozent liest. Auch für kleinere Brüche als ein Hunderstel gibt es Namen und Zeichen, es sei hier noch das Promille (von lateinisch pro mille - von tausend) erwähnt, das aus der StVO bekannt ist. Auch für Promille gibt es ein (Schreibarbeit sparendes) Zeichen, man schreibt ‰.

Die Lösung

Als Erstes wollen wir auf die grundsätzliche Struktur einer Prozentrechenaufgabe eingehen. Im Wesentlichen hat eine solche Aufgabe drei Kenngrößen, die wir am Beispiel des 10%-Fruchtsaftgehalts einer Einliterflasche Nektar erläutern wollen:

  • Den Grundwert, er bezeichnet die zugrunde liegende Gesamtmenge der betrachteten Größe, in unserem Beispiel also die Gesamtmenge des Nektars. Das ist bei einem Flascheninhalt von einem Liter gerade ein Liter.
  • Den Prozentsatz, er bezeichnet die relative Größe des interessanten Anteils am Grundwert, im Nektarbeispiel also 10, da der Fruchtsaftgehalt ja gerade 10% beträgt (Man beachte: Der Prozentsatz ist 10, nicht 10 Prozent! Verwechslungen können hier ggf. leicht zu Rechenfehlern führen).
  • Den Prozentwert, das ist die Größe des interessanten Anteils (hier: absolut), im Nektarbeispiel (und hier müssen wir schon das erste Mal rechnen): Wir haben einen Liter Nektar mit einem Fruchtsaftanteil von 10%, wir hatten uns oben überlegt, dass Prozent einfach ein anderes Wort für Hundertstel ist, wir haben es also mit einem Fruchtsaftanteil von zehn Hundertsteln oder einem Zehntel zu tun. Übersetzen wir "von" in ein "mal" (mehr dazu hier), dann beträgt der Prozentwert also \[\frac 1{10} \cdot 1\,\mathrm{l} = \frac 1{10}\, \mathrm{l} = 100\,\mathrm{ml}.\]

Für diese drei grundlegenden Größen gibt es auch allgemein bekannte Bezeichnungen, man bezeichnet in der Regel:

  • den Grundwert mit G,
  • den Prozentsatz mit p
  • und den Prozentwert mit W

Wir wollen nun eine Beziehung zwischen diesen drei Größen herleiten, deren Kenntnis zum Lösen von Prozentrechenaufgaben ausreichen sollte. Also: Es war doch Prozent ein anderes Wort für Hunderstel und der Prozentwert waren gerade p Prozent vom Grundwert, d.h. aber gerade, wenn wir "von" wieder als "mal" verstehen, dass \[ W = \frac p{100} \cdot G \] ist. Wir wollen diese Gleichung (nach Division durch G) - symmetrischer - als \[ \frac WG = \frac p{100} \] notieren.

Gegeben ein Prozentrechenproblem, geht man also in der Regel so vor (dies ist - wie immer - nur eine Möglichkeit):

  • Identifiziere die Größen G, W, p als gegeben/gesucht.
  • Forme die Formel nach der gesuchten Größe um.
  • Setze die gegebenen Werte ein und berechne so die gesuchte Größe

Manchmal (siehe zum Beispiel unten) hat man diese Schritte mehrmals durchzuführen, da es sich um mehrere verschachtelte Aufgaben dieses einfachen Typus handeln kann.

Eine andere Möglichkeit - wie schon eingangs erwähnt - ist, die Gleichung so zu lesen, dass zwischen p und W ein proportionaler Zusammenhang besteht und dann mit Hilfe einer Dreisatz-Überlegung heranzugehen. Wir wollen dies im ersten Beispiel exemplarisch zeigen, da es im Wesentlichen immer so funktioniert.

Beispiele

Als Erstes wollen wir einige einfache Beispiele besprechen, bei deren Lösung wir uns exakt an obigen Plan halten können:

  • Auf einer 0,5-Liter-Bierflasche findet sich der Aufdruck 5 Vol.-% Alkohol. Wieviel Alkohol enthält die Flasche?

    Na ja, 5 Vol.-% oder nicht? Nein, so war das natürlich nicht gemeint. Wir müssen uns zunächst einmal klarmachen, was wir hier überhaupt tun sollen, das ist mit Identifizierung gemeint. Also: Wir haben den Grundwert gegeben, in diesem Zusammenhang ist das die Gesamtmenge, folglich G = 0,5 (Liter Bier). Was ist noch gegeben? 5 Vol.-% Alkohol, das ist der Prozentsatz, wir haben p = 5. Gesucht ist die Menge Alkohol im Bier, das ist der Prozentwert. Wir müssen also unsere Formel nach W auflösen, es ist \[ \frac p{100} = \frac WG \iff W = \frac{p}{100} \cdot G. \] Nun setzen wir p = 5 und G = 0,5 ein und erhalten \[ W = \frac{p}{100} \cdot G = \frac{5}{100} \cdot 0,5 = 0,025. \] Also enthält unsere Bierflasche 25 ml Alkohol.

    Wir können das Ganze auch so aufschreiben, wie im Dreisatzartikel erklärt. Dann haben wir \[ \begin{align} 1 & \text{Liter Bier enthält} & 5 \text{Vol.-%} &= 0,05 & \text{Liter Alkohol} \\ 0,5 = 0,5 \cdot 1 & \text{Liter Bier enthalten} & 0,05 \cdot 0,5 &= 0,025 & \text{Liter Alkohol} \end{align} \] Somit erhalten wir (natürlich) dasselbe Ergebnis.

    Hinweis: Die Angaben auf der Flasche werden in Vol.-% gemacht, da sich die Prozentangabe auf den Volumenanteil und nicht auf den Gewichtsanteil Alkohol bezieht! Dieser ist verschieden, hier muss man die Dichte der beteiligten Substanzen mit berücksichtigen. Um den Gewichtsanteil des Alkohols zu bestimmen, benötigen wir das spezifische Gewicht des Alkohols, welches \(0,789 \frac{g}{ml}\) beträgt und erhalten \[25 ml \cdot 0,789 \frac{g}{ml} = 19,725 g.\] Diese Ergebnis erhalten wir auch direkt, indem wir folgende Rechnung durchführen: \[500 ml \cdot \frac{\text{5 Vol.-%}}{100} \cdot 0,789 \frac{g}{ml} = 19,725 g.\]

  • Ein weiteres Beispiel ist die Berechnung der Blutalkoholkonzentration (BAK). Dazu ermitteln wir die BAK in Promille (‰) nach dem Trinken des Bieres.
    Dabei gilt die folgende Formel: \[\text{BAK}=\frac{\text{Alkoholmenge in } g}{\text{Körpergewicht in } kg \cdot f}\] Beim Faktor f, der für den Anteil von Körperflüssigkeit steht, wird unterschieden: bei Männern beträgt der Faktor f = 0,68 und bei Frauen f = 0,55.
    Für einen 78 kg schweren Mann erhalten wir: \[\text{BAK}= \frac{19,725}{78 \cdot 0,68} \approx 0,37.\] Also beträgt die BAK bei dem Mann nach Trinken eines Bieres 0,37‰.
  • Nun wollen wir einen zu 2,1 Prozent gefüllten Container betrachten, der noch 10 Liter enthält. Wieviel passt insgesamt hinein? Beginnen wir wieder mit der Identifizierung der beteiligten Werte, sicher ist p = 2,1 der Prozentsatz. Der noch vorhandene Anteil des Inhalts, die zehn Liter, sind der Prozentwert W = 10. Gesucht ist die Gesamtheit, also der Grundwert. Wir lösen nach G auf, also \[ \frac p{100} = \frac WG \iff G = \frac Wp \cdot 100. \] Nun noch einsetzen, es ist \[ G = \frac{10}{2,1} \cdot 100 = 476,19. \] Der Container fasst also in etwa 476,19 Liter.
  • Betrachten wir als Nächstes eine alte Rechnung, auf der nur noch der Nettopreis von 135,21 DM und ein Mehrwertsteuerbetrag von 18,93 DM stehen. Wie hoch war damals die Mehrwertsteuer?
    Zunächst müssen wir wieder die beteiligten Größen identifizieren: Der Nettopreis ist sicher der Grundwert (denn dieser bezeichnete ja die Gesamtheit der zugrunde liegenden Größe), wir haben als G = 135,21 (DM), der Betrag der Mehrwertsteuer ist der Prozentwert, der interessante Teil des Betrags. Gesucht ist die Mehrwertsteuerrate p. Wir lösen also zunächst einmal unsere Gleichung nach p auf, es ist \[ \frac p{100} = \frac WG \iff p = \frac WG \cdot 100. \] Wir setzen ein und erhalten \[ p = \frac WG \cdot 100 = \frac{18,93}{135,21} \cdot 100 = 14 \] als Lösung. Damals stand die Mehrwertsteuer also bei 14%.
  • Als Nächstes einmal ein Beispiel, bei dem zwei Prozentrechenaufgaben verwoben sind: Ein Händler gewährt auf den Bruttopreis bei Barzahlung drei Prozent Rabatt, wieviel muss ich also in Bar für ein Auto bezahlen, dass einen Nettowert von 25.000€ hat. Da der Händler den Rabatt auf den Bruttopreis gewährt, müssen wir also zunächst diesen berechnen: Der Nettopreis ist der Grundwert, wir haben also G1 = 25.000, die Mehrwertsteuer beträgt 19%, der Prozentsatz ist also p1 = 119 (denn der Prozentwert, also der Bruttopreis, ist der Nettopreis plus MwSt.). Wir haben demnach \[ \frac{p_1}{100} = \frac{W_1}{G_1} \iff W_1 = \frac{p_1}{100} \cdot G_1. \] Einsetzen liefert \[ W_1 = \frac{119}{100} \cdot 25\,000 = 29\,750 \] als Bruttopreis unseres Kraftfahrzeugs.
    Um nun den Barpreis zu berechnen, müssen wir zunächst wieder die beteiligten Größen identifizieren, es ist G2 = W1 = 29.750 der Grundwert, der Händler gewährt uns drei Prozent Rabatt, wir müssen also noch einen Prozentsatz von p2 = 97 bezahlen. Gesucht ist hier unser Barpreis, der Prozentwert. Wegen \[ W_2 = \frac{p_2}{100} \cdot G_2 \] ist \[ W_2 = \frac{97}{100} \cdot 29\,000 = 28\,857,50 \] unser Barpreis.
    Bemerkung: Wir hätten auch zunächst wegen G2 = W1 die Formeln ineinander einsetzen können, hätten also \[ W_2 = \frac{p_2}{100}\cdot G_2 = \frac{p_2}{100} \cdot W_1 = \frac{p_1 \cdot p_2}{10\,000} \cdot G_1 \] erhalten und nach Einsetzen wiederum \[ W_2 = \frac{97 \cdot 119}{10\,000} \cdot 25\,000 = 28\,857,50 \] als Lösung. Dieses Vorgehen empfiehlt sich in der Regel, da es zu weniger Rechen- und Abschreibfehlern führt.
  • Wir betrachten eine Rechnung, bei der der Nettobetrag 101€ und der Bruttobetrag 111,12€ beträgt. Wie hoch ist der Bruttopreis derjenigen Waren, auf die die volle Mehrwertsteuer von 19% fällig ist?
    Hier sind zwei Prozentaufgaben miteinander verwickelt, es gibt die beiden Nettopreise derjenigen Waren, auf die 7 bzw. 19 Prozent Steuer fällig sind, sie bezeichnen die Grundwerte, nennen wir sie \(G_7\) und \(G_{19}\). Die Prozentwerte sind die beiden Bruttobeträge \(W_7\) und \(W_{19}\), die zugehörigen Prozentsätze sind (beachte, dass die Steuer zum Nettopreis hinzukommt) \(p_7 = 107\) und \(p_{19} = 119\). Stellen wir unsere Formel nach G um, so ergibt sich \[\frac{p}{100}=\frac{W}{G}\Leftrightarrow W=\frac{p}{100}\cdot G,\] also ist \[W_7=\frac{p_7}{100}\cdot G_7 = 1,07 \cdot G_7 \quad \text{und} \quad W_{19}=\frac{p_{19}}{100}\cdot G_{19}=1,19 \cdot G_{19}.\] Der Aufgabe entnehmen wir, dass \[W_7+W_{19} = 111,12 \quad \text{und} \quad G_7+G_{19} = 101.\] Mit Hilfe der obigen Formeln können wir ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen \[ \begin{align*} & \text{(a)} & & G_7 & + & & G_{19} & = 101 \\ & \text{(b)} & 1,07 \cdot & G_7 & + & 1,19 \cdot & G_{19} & = 111,12 \end{align*} \] (b) \(- 1,07 \cdot\) (a) liefert (c) \[ \begin{align*} & \text{(a)} & & G_7 & + & & G_{19} & = 101 \\ & \text{(c)} & & & & 0,12 \cdot & G_{19} & = 3,05 \end{align*} \] Teilen wir (c) durch 0,12, so erhalten wir \[ \begin{align*} & \text{(a)} & & G_7 & + & & G_{19} & = 101 \\ & \text{(d)} & & & & & G_{19} & \approx 25,42 \end{align*} \] Schließlich setzen wir (d) in (a) ein und erhalten \[G_7 \approx 75,58 \quad \text{und} \quad G_{19} \approx 25,42.\] Der Bruttopreis der Waren, auf die der hohe Mehrwertsteuersatz fällig ist, beträgt 30,25€, denn \[W_{19} = \frac{p_{19}}{100} \cdot G_{19} \approx 1,19\cdot 25,42 \approx 30,25.\]

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