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Länge einer Kurve

Das Problem

Es ist die Länge einer Kurve in der Ebene (oder im Raum, dazu stelle man sich im Folgenden einfach anstelle der Zwei eine Drei vor) zu berechnen.

Die Lösung

Wir wollen hier nicht nur die Berechnungsformel präsentieren, sondern sie auch motivieren. Falls Sie schon motiviert sind, lesen Sie einfach hier weiter.

Zunächst wollen wir uns einmal damit beschäftigen, was eine Kurve in der Ebene eigentlich ist. Für uns soll eine Kurve im Folgenden wie folgt beschrieben sein:

Eine Kurve in der Ebene (man sollte sagen: parametrisierte Kurve, aber das macht den Text nur länger und verwirrend) ist eine Abbildung \(c: [a, b] \rightarrow \R^2\), die stetig und stückweise (d.h. bis auf endlich viele Stellen) stetig differenzierbar ist.

Nachdem wir nun wissen, was eine Kurve ist, wollen wir einmal versuchen, die Länge einer solchen Kurve (Definition folgt) anschaulich zu motivieren: Es sei also \(c: [a, b] \rightarrow \R^2\) eine Kurve, die stetig differenzierbar sei (ansonsten betrachte man alle Stücke einzeln, vgl. Beispiel Zwei), in etwa:

Unterteilen wir nun unser Definitionsintervall mit einem Gitter

so ist unsere Kurve entsprechend unterteilt:

Da wir eine stetige Kurve betrachten, so sollte (hier werden wir ungenau, eine genauere Darstellung sollten Sie in eigentlich jedem Analysis-Buch finden, sie sprengte jedoch hier den Rahmen einer Motivation) doch für die Länge L(c) unserer Kurve

gelten, dabei bezeichnet |·| die euklidische Länge, d.h. es ist \[ |x| := \sqrt{x_1^2 + x_2^2}, \quad x = (x_1, x_2) \in \R^2, \] da die Kurve etwa dem Streckenzug entspricht. Da unsere Kurve sogar differenzierbar ist, so sollte doch für 0 < i < m - 1 gelten: \[\begin{array}{lrcl} & c'(x_i) & \approx & \frac{c(x_{i+1})-c(x_i)}{x_{i+1}-xi} \\ \Leftrightarrow & c'(x_i)\cdot (x_{i-1}-x_i) & \approx & c(x_{i+1}-c(x_i) \end{array} \] also \[\bigl|c(x_{i+1}) - c(x_i)\bigr| \approx \bigl|c'(x_i)\bigr| \cdot (x_{i+1} - x_i) \] Damit erhalten wir

das aber ist doch eine Summe, wie sie bei der Berechnung des Integrals von |c'| auftritt. Das führt uns zu: Sei \(c: [a, b] \rightarrow \R^2\) eine Kurve, dann ist die Länge von c, in Zeichen L(c), definiert durch

Nota bene: Für Raumkurven (oder sogar Kurven im \(\R^n\)) geht das völlig analog, sogar die Formel ist die gleiche, vgl. dazu auch das letzte Beispiel.

Beispiele

  • Als erstes Beispiel wollen wir die Länge einer Strecke
    berechnen. Dazu müssen wir unsere Strecke erst als Bild einer Funktion c wie oben darstellen, hier bietet sich
    an, wir berechnen zunächst die Ableitung
    was uns die Kurvenlänge
    liefert. Unsere Kurvenlängendefinition scheint also sinnvoll zu sein.
  • Als Nächstes wollen wir den Umfang eines Kreises
    vom Radius r um die 0 bestimmen.
    Dazu müssen wir unseren Kreis zunächst wieder als Bild einer Kurve darstellen. Hier bietet sich
    an. Die Ableitung ergibt sich zu
    Wir erhalten also \[ \begin{eqnarray*} L(c) &=& \int_0^{2\pi} \bigl|c'(t)\bigr|\, dt\\ &=& \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2\cos^2 t + r^2\sin^2 t}\, dt\\ &=& \int_0^{2\pi} r\, dt\\ &=& 2\pi r, \end{eqnarray*} \] was wir - hoffentlich - erwarteten.
  • Als nächstes Beispiel wollen wir einmal den Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion \(f: [a, b] \rightarrow \R\) betrachten:

    und seine Länge, zunächst allgemein, dann an einem Beispiel, berechnen.

    Wir stellen den Graphen von f natürlich durch die Kurve

    dar, die Ableitung ergibt sich zu

    und damit die Länge

    Als Beispiel - da man hier das auftretende Integral berechnen kann - wollen wir die Länge des Graphen von

    der sog. Neilschen Parabel berechnen:

    Als Ableitung ergibt sich
    also
  • Nun wollen wir, wie oben versprochen, die Länge einer Raumkurve berechnen, um zu demonstrieren, dass man in diesem Falle wirklich genauso rechnet, wie im Zweidimensionalen. Wir wollen einen Teil einer Schraubenlinie betrachten:
    Sie ist das Bild der Kurve

    Zur Bestimmung der Länge der Kurve berechnen wir wie gehabt zunächst die Ableitung, es ist

    und dann die Länge des Ableitungsvektors, die wir jetzt mit der euklidischen Länge im Raum

    \[ |x| := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}, \quad x = (x_1, x_2, x_3) \in \R^3 \]

    messen, es ist

    und damit ist die Länge unserer Kurve durch

    gegeben.

  • Haben wir eine Ellipse mit den zwei Halbachsen $a$ und $b$ gegeben ($a>b$)
    und möchten den Umfang $U$ der Ellipse bestimmen, so verwendet man das folgende so genannte elliptische Integral $E(\varepsilon)$: \[U = 4a E(\varepsilon) = 4a \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-\varepsilon^2 \sin^2(t)}\, dt,\] wobei $\varepsilon$ die numerische Exzentrizität ist und sich aus \[\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\] errechnet. Es ist nicht möglich, den Umfang durch elementare Funktionen darzustellen. In dem folgenden Programm bestimmen wir den Umfang einer gegebenen Ellipse näherungsweise.

Programm zur Bestimmung des Umfangs einer Ellipse

Geben Sie die beiden Längen $a$ und $b$ der Hauptachsen ein:

Man beachte:

  • $a$ muss größer als $b$ sein.
  • Es wird eine Näherungslösung bestimmt.

$a$:  
$b$:  



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