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Flächenberechnung

Das Problem

Es ist der Flächeninhalt einer ebenen Fläche zu bestimmen, die jedoch keine der "elementaren" Flächen (wie etwa Rechteck, Dreieck oder Kreis) ist. Die Flächenberechnung eines Rechtecks, Dreiecks oder Kreises lernt man spätestens in der Mittelstufe. Wenn man es wieder vergessen hat, kann man es in jeder Formelsammlung nachschlagen.
Wie verhält es sich jedoch mit komplizierteren Flächen, wie etwa der Fläche unter dem Graphen einer stetigen Funktion, z.B. die graue Fläche im folgenden Bild:

oder der Fläche zwischen zwei Graphen stetiger Funktionen, wie etwa der Flächeninhalt folgender Ellipse

bzw. von Flächen, die aus solchen Flächen zusammengesetzt sind?

Die Lösung

Es mag erstaunlich sein, aber die Flächeninhaltsbestimmung der ersten unserer Beispielflächen hat etwas mit der Umkehrung des Ableitungsvorgangs, der Bestimmung einer so genannten Stammfunktion der Funktion f zu tun, unter deren Graphen wir eine Fläche berechnen wollen.

Hat man erst einmal eine Stammfunktion F zu f, i.e. eine Funktion, deren Ableitung f ist, bestimmt (wie man eine solche finden kann, ist hier erklärt), ist die Berechnung obigen Flächeninhalts sehr einfach, man muss einfach die beiden Abzissen (x-Werte), die die Fläche begrenzen, im obigen Bild a und b, in die Stammfunktion F einsetzen und die Differenz dieser Werte bestimmen. Der Flächeninhalt ist also

F(b) - F(a).

Ist, wie im zweiten Beispiel oben, die zu berechnende Fläche zwischen den Funktionen f und g gelegen, und gilt stets f ≤ g, so kann man die zu bestimmende Fläche wie folgt berechnen:

Man bestimme Stammfunktionen F und G zu f resp. g, dann ist die gesuchte Fläche gerade gleich

Haben die Graphen von f und g Schnittpunkte, so gehe man wie folgt vor

Man bestimme zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen, bestimme die einzelnen Teilflächen wie oben und addiere dann die Flächeninhalte, die sich ergeben haben. Achtung: Man mache sich also zunächst ein Bild, sonst können sich, falls man Schnittpunkte übersieht, Fehler bei der Berechnung einschleichen.

Beispiele

  • Es ist die folgende Fläche zu bestimmen:

    also die Fläche zwischen der Normalparabel (das ist der Graph der Funktion f mit f(x) = x2) und der x-Achse auf dem Intervall [0,1].

    Gemäß obiger Vorgehensweise hat man zunächst eine Stammfunktion zu bestimmen, mit Hilfe von z.B. diesem Artikel finden wir als Stammfunktion
    Der Flächeninhalt unserer Fläche ergibt sich also als
    Für die oft auftretende "Differenz zweier Werte einer Stammfunktion zu f " hat man ein eigenes Symbol, man schreibt
    Mit dieser Schreibweise liest sich also unsere Lösung als
  • Als Beispiel für eine zusammengesetzte Fläche wollen wir nun den Flächeninhalt der folgenden Fläche berechnen:

    Diese Fläche ist also diejenige, die zwischen der Sinusfunktion und der x-Achse auf dem Intervall \(\left[0, \frac{3\ \pi}{2}\right]\) liegt.

    Gemäß unserer obigen Vorgehensanleitung müssen wir zunächst die Schnittpunkte unserer beiden Funktionen (das sind hier f = sin, und g = 0) bestimmen, im Inneren unseres Intervalls ist das nur die Stelle π, dementsprechend zerlegen wir die Fläche in zwei Teile:
    Den ersten Teil kann man leicht mit dem oben behandelten Verfahren bestimmen, eine Stammfunktion zu sin ist -cos (Warum?) also ist der Flächeninhalt von F1:
    Für F2 beachte: "Klappt" man F2 nach oben, so ist die sich aus F2 ergebende Fläche von einer Form, deren Inhalt wir berechnen können:
    Die sich ergebende Fläche ist nämlich die Fläche zwischen dem Graphen von -sin und der x-Achse auf dem Intervall \(\left[\pi, \frac{3\ \pi}{2}\right]\), also ist ihr Inhalt:
    Der Gesamtflächeninhalt ist also:

    Nota bene: Um allgemeiner eine Fläche der Form

    zu berechnen, berechne man zunächst die Teile über der x-Achse wie gehabt, und dann wie im Beispiel die Teile unter der x-Achse, und addiere beide Teile.

  • Als nächstes Beispiel wollen wir mal den Flächeninhalt der folgenden Ellipse
    berechnen.
    Sie ist die Fläche zwischen den durch
    gegeben Funktionen auf dem Intervall [-a,a]. Dazu berechnen wir zunächst mittels Integration durch Substitution Stammfunktionen, es ergibt sich, wobei die Integration von \(\sqrt{1-u^2}\) hier genau ausgeführt wird,
    Bezeichnen wir die gefundenen Stammfunktionen mit F+ resp. F-, so ergibt sich gemäß unseren Bemerkungen oben unsere Fläche zu
    Ist unsere Ellipse ein Kreis, haben wir also a = b, so ergibt sich der Flächeninhalt π · r2, wie erwartet.

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