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Elementare Flächenberechnung

Das Problem

In diesem Artikel soll es um die Berechnung von Flächeninhalten in der Ebene gehen. Es kommt in der Realität oft vor, dass verschiedene Flächen zu berechnen sind. Einfache Flächen lassen sich fast immer durch eine Kombination von bekannten Flächen darstellen und anschließend berechnen. Zur Berechnung krummlinig begrenzter Flächen kann man sich bei Kenntnis der Funktion die Integralrechnung  zur Hilfe heranziehen.

Die Lösung

Zunächst muss man die zu berechnende Fläche in einzelne elementar zu berechnende Flächen, wie zum Beispiel Dreiecke und Vierecke, zerlegen und dann auf die elementaren Flächen die entsprechenden Formeln anwenden. Zum Schluss erhält man den Flächeninhalt als Summe der einzelnen Flächeninhalte. Um die Formeln anwenden zu können, muss man sich natürlich erstmal die gegebenen Größen - am Besten an einer Skizze - veranschaulichen. Manchmal muss die vorliegende Formel dann entsprechend nach der gesuchten Variablen umgeformt werden (es ist ja nicht immer nur der Flächeninhalt gesucht, sondern oft sind es Seiten, Diagonalen oder Höhen der Figuren). Da viele Formeln insbesondere für rechtwinklige Dreiecke gelten, ist es gegebenenfalls sinnvoll, allgemeine Dreiecke so zu zerlegen, dass sie sich als Summe rechtwinkliger Dreiecke darstellen lassen.

Dreiecke:

  • beliebiges Dreieck:

    Heronische Formel:
  • gleichseitiges Dreieck:
    a = b = c \[ h = \frac{a}{2}\sqrt{3} \]

  • rechtwinkliges Dreieck:


    Hier gilt der Satz des Pythagoras:

    \[ A = \frac{a \ b}{2} \]

Vierecke:

  • Quadrat:

  • Rechteck:

  • Raute:

  • Parallelogramm:

  • Drachen:

  • Trapez:

Beispiele

  • Berechne die folgenden Größen:

    Dreieck:
    gegeben: ha = 6,5 cm und A = 10,56 cm2
    gesucht: a

    Quadrat:
    gegeben: a = 6 mm
    gesucht: A
    Rechteck:
    gegeben: a = 250 mm und A = 1 m2
    gesucht: b
    Raute:
    gegeben: e = 5 dm und f = 12 cm
    gesucht: A
    Parallelogramm:
    gegeben: b = 12,5 cm und A = 5 m2
    gesucht: hb
    Drachen:
    gegeben: e = 6 dm und A = 1200 cm2
    gesucht: f
    Trapez:
    gegeben: a = 15 mm, A = 25 cm2 und h = 1 dm
    gesucht: c
  • Die Diagonale e eines Rechtecks ist 8,2 cm lang und die Seite b ist 4,5 cm lang. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck?


    Wir zerteilen das Rechteck durch die Diagonale e und betrachten die beiden gleichgroßen, rechtwinkligen Dreiecke. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: \[ e^2 - b^2 = a^2 \Leftrightarrow 67,24 - 20,25 = a^2 \Leftrightarrow a = \sqrt{46,99\, \mathrm{cm^2}} = 6,85 \, \mathrm{cm}\] Also gilt für den Flächeninhalt: \[ A = a \cdot b = 6,85 \, \mathrm{cm} \cdot 4,5 \, \mathrm{cm} = 30,825 \, \mathrm{cm^2} \]

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