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gewöhnlich -> dezimal

Das Problem

Es ist eine Aufgabe zu lösen, die sowohl gewöhnliche als auch Dezimalbrüche enthält, es sind gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche zu vergleichen, o.Ä. Kurz: Es sind gewöhnliche Brüche in Dezimalbrüche zu verwandeln. (Natürlich kann man die Umwandlung auch umgekehrt vornehmen, mehr dazu finden Sie hier.)

Die Lösung

Falls man den (gewöhnlichen) Bruch \(\frac{a}{b}\) in einen Dezimalbruch verwandeln möchte, führt man einfach das schriftliche Divisionsverfahren für a durch b aus.
Jetzt also mehr zu diesem Verfahren, hier am Beispiel \( \frac{3}{7} \): Dazu schreibe man sich zunächst die beiden Zahlen nebeneinander auf, in etwa so:

Nun teilt man drei durch sieben, es ergibt sich 0 (Rest 3), was man notiert:

Nun multipliziert man die eben berechnete Ziffer (die Null) mit dem Divisor (das ist die Zahl, durch die geteilt wird [lat.]) und notiert das Ergebnis unter dem Dividenden (das ist die Zahl, die geteilt wird [lat.]):

Nun subtrahiert man die beiden untereinander stehenden Zahlen (das ist hier zum Glück leicht, da der Subtrahend [das ist die Zahl, die subtrahiert wird] Null ist) und notiert das Ergebnis:

Von dem sich hier ergebenenden Ergebnis hängt unser weiteres Vorgehen ab: Wir müssen drei Fälle unterscheiden, in zweien sind wir schon fertig:

  1. Der Rest ist Null. Dann sind wir fertig und rechts des Gleichheitszeichens steht das Ergebnis unserer Division. Wir haben also den gewöhnlichen Bruch in einen abbrechenden Dezimalbruch verwandelt.
  2. Wir haben bereits alle Ziffern des Zählers "verbraucht" (s.u.) und es ist ein Rest (das Ergebnis der Subtraktion) aufgetreten, der bereits einmal nach Verbrauchen des Zählers aufgetreten war.
    Dann sind wir ebenfalls fertig, an der Stelle, an der dieser Rest zum ersten Mal auftrat, beginnt die Periode des Ergebnisses (also noch schnell einen Strich über die Ziffern ab dieser Stelle gemacht) und wir haben unseren gewöhnlichen Bruch in einen periodischen Dezimalbruch verwandelt.
    (Aber warum eigentlich? Wieso beginnt jetzt hier die Periode? Stellen wir uns einmal vor, wir rechneten weiter. Was passierte? Nun ja, wir holten doch als Nächstes eine Null herunter und führten die Division aus; aber halt, diese Division haben wir doch schon einmal ausgeführt! Genau! Nämlich an der Stelle, an der sich der gleiche Rest ergab wie hier. Ab hier liefe die Rechnung, führten wir sie weiter aus, also völlig parallel und wir erhielten dieselben Ziffern im Ergebnis noch einmal, bis wir wieder an der Stelle anlangten, wo sich dieser Rest ergibt, usw. Also beginnt hier die Periode (wer das beim ersten Wiederholen eines Restes erkennt, kann sich viel Rechenarbeit sparen!).
  3. Es sind noch Ziffern des Zählers übrig oder der Rest trat bisher nie auf. Dann müssen wir unsere Rechnung (leider?) fortsetzen.
Welcher Fall liegt nun hier vor? Fall 1 wohl nicht, denn 3 ist nicht 0, Fall 2 auch nicht, denn wir haben zwar den Zähler verbraucht, aber die Drei ist unser erster Rest, trat also bisher nicht auf. Also liegt Fall 3 vor. Wir müssen also weiterrechnen:
Als Nächstes müssen wir uns eine neue Ziffer des Divisors holen, aber Moment, da sind doch keine Ziffern mehr da, oder? Doch, es sind, wir stellen uns vor, es stünde dort 3,0000..., holen uns also eine Null und notieren, dass wir eine Ziffer hinter dem Komma geholt haben, dadurch, dass wir hinter dem bisherigen Ergebnis ein Komma einfügen:

Nun müssen wir einfach unser bisheriges Vorgehen noch einmal wiederholen. Wie war das doch gleich?
Genau! Zunächst müssen wir 30 durch 7 teilen, wir erhalten 4, was wir notieren:

Dann multiplizieren wir 4 mit 7, das Ergebnis 28 schreiben wir unter die 30 (und zwar so - das wird hier erstmals wichtig -, dass Einer unter Einern, Zehner unter Zehnern,... stehen, dies erleichtert die folgende Subtraktion):/

Nun subtrahieren wir 28 von 30, erhalten 2 und notieren dies:

Offenbar befinden wir uns wieder in Fall 3, da zwei weder Null ist noch bisher auftrat, also holen wir wieder eine Null:

Wir wiederholen nun erneut unseren Algorithmus und erhalten

Wieder Fall 3, der nächste Schritt liefert:

und erneut Fall 3, also alles nochmal, wir erhalten:

Und - leider - noch einmal der dritte Fall:

Und nochmal:

So, jetzt ist aber Fall zwei eingetreten, die Drei trat schon einmal auf (durch einen Pfeil markiert), also sind wir fertig, wenn wir die Periode notiert haben, die drei ergab sich letztmals vor dem ersten Schritt nach dem Komma, also beginnt die Periode (s.o.) direkt nach dem Komma, wir haben also

erhalten und damit unseren Bruch erfolgreich in einen Dezimalbruch umgewandelt.

Beispiele

Hier noch einige Beispiele, die die anderen auftretenden Schwierigkeiten und Fälle, insbesondere die Frage, was es mit dem "Verbrauchen" des Zählers auf sich hat, erläutern sollen:

  • Betrachten wir etwa die Aufgabe, den Bruch \(\frac{263}{6}\) umzuwandeln: Wir erhalten im ersten Schritt:

    Im Unterschied zur Rechnung unter "Lösung" haben wir hier noch Ziffern des Zählers übrig, das ist damit gemeint, dass der Zähler noch nicht verbraucht ist, wir holen also die nächste Ziffer des Zählers und erhalten im nächsten Schritt:

    Jetzt ist der Zähler "alle", wir holen also eine Null, schreiben ein Komma und erhalten:

    So, das sollte doch Fall 2 sein, oder, die Zwei hatten wir doch schonmal im ersten Schritt als Rest, oder? Nein, die Zwei hatten wir zwar schonmal, aber da war der Zähler noch nicht aufgebraucht, und das war wesentlich für unsere Überlegungen im zweiten Fall, denn nach dem Holen der nächsten Ziffer ergibt sich nun nicht dasselbe wie oben, da damals noch von Null verschiedene Ziffern zu holen waren.
    Also liegt Fall 3 vor, und wir müssen weitermachen:

    Nun hat sich wieder eine Zwei ergeben, diesmal sind wir wirklich im zweiten Fall, also sind wir fertig. Die letzte Zwei hatte sich vor dem letzten Schritt ergeben, die Periode beginnt also nach der Acht, d.h. wir haben:

    Damit ist unsere Aufgabe erfolgreich gelöst.
  • Als zweites Beispiel mal ein (hoffentlich) etwas einfacheres: Wir betrachten den Bruch \(\frac{127}{8}\). Im ersten Schritt ergibt sich:

    Weiter folgt:

    In den nächsten Schritten erhält man:

    Schließlich erhalten wir:

    Der Rest ist Null, also sind wir fertig und können das Ergebnis ablesen:

  • Zum Schluss noch einmal ein etwas anderes Beispiel: Was ist zu tun, wenn in Zähler und Nenner des Bruches echte Dezimalbrüche stehen, wie etwa in \(\frac{0,13}{9,9}\)?
    Nun, wenn man zwei Dinge beachtet, im Endeffekt auch nichts anderes. Zunächst sollte man sich vergegenwärtigen, dass man durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz (das sind die Zahlen 10, 100, 1000, ...) stets erreichen kann, dass in Zähler und Nenner keine Kommata mehr auftreten, hier können wir z.B. mit 100 erweitern und erhalten:

    Nun haben wir also den obigen Fall vor uns. Wir teilen also 13 durch 990. Es ergibt sich - hier ist nicht mehr jeder Schritt einzeln aufgeführt -:

    Hier haben wir also den ersten sich wiederholenden Rest, der Rest 130 trat bereits einmal auf, als sich die Eins ergab, also ist

Bruch in Dezimalzahl umwandeln

Hier kann man sich einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln lassen:

Man beachte:

  • Bitte nur natürliche Zahlen eingeben.
  • Es darf nicht durch 0 geteilt werden.
  • Bei einem periodischen Bruch wird der Rest, der bei der Rechnung zweimal auftaucht, fett hervorgehoben.
  • Wenn vor der Rechnung führende Nullen ergänzt wurden, so werden diese kursiv dargestellt.
  • Bitte nur maximal 15-stellige Zahlen eingeben, da mit 16-stelliger Genauigkeit gerechnet wird.
  • Schon bei Zahlen mit wenigen Stellen kann die Rechnung sehr lang werden, so dass die Zeit für die Darstellung der Rechnung übermäßig lange dauert. In diesem Fall wird die Rechnung spätestens nach 100 Schritten abgebrochen und es werden entsprechend nur die ersten 100 Rechenschritte angezeigt.
  • Beim Klick auf nur Ergebnis anzeigen wird maximal mit 1000 Schritten gerechnet und nur das Ergebnis ohne Rechnung ausgegeben.

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