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Dezimal -> gewöhnlich

Das Problem

Es ist eine Aufgabe zu lösen, die sowohl gewöhnliche als auch Dezimalbrüche enthält, es sind gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche zu vergleichen, o.Ä. Kurz: Es sind Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche zu verwandeln. (Natürlich kann man die Umwandlung auch umgekehrt vornehmen, mehr dazu finden Sie hier.)

Die Lösung

Zur Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche unterscheidet man drei verschiedene Arten von Dezimalbrüchen, für die man jeweils etwas unterschiedlich vorgeht: Brüche ohne Periode, solche bei denen die Periode gleich nach dem Komma beginnt und schließlich sog. gemischt-periodische Dezimalbrüche, bei denen zwischen Komma und Periode noch andere Ziffern stehen.

  1. Brüche ohne Periode - abbrechende Dezimalbrüche: Das ist an sich recht leicht. Um einen solchen Dezimalbruch, - zum Beispiel 0,345 - umzuwandeln, muss man sich nur in Erinnerung rufen, wie das Dezimalsystem funktioniert.
    Jede Stelle hinter dem Komma hat doch einen bestimmten Stellenwert, so steht die erste Stelle hinter dem Komma für Zehntel, die zweite für Hundertstel, etc. Allein diese Überlegung ermöglicht uns nun schon, die einfachsten abbrechenden Dezimalbrüche umzuwandeln.
    Wir hatten uns doch überlegt, dass:

    Zehnerpotenzbrüche

    Um einen anderen Dezimalbruch umzuwandeln, führen wir nun eine kleine Umformung durch, um das gegebene Problem auf dieses einfache, schon gelöste zurückzuführen: Um beim obigen Beispiel zu bleiben, es ist doch

    0,345 = 69/200

    Zusammen haben wir durch unsere Überlegungen also folgende Vorgehensweise ermittelt: Um einen abbrechenden Dezimalbruch zu verwandeln, schreibe auf den Bruchstrich die Nachkommastellen, unter den Bruchstrich eine Eins mit so vielen Nullen, wie Stellen auf dem Bruchstrich stehen.

  2. Brüche, deren Periode direkt hinter dem Komma beginnt - sog. rein-periodische Dezimalbrüche: Auch hier gibt es, ähnlich dem ersten Fall, einen einfachen Umwandlungsalgorithmus, den wir wie oben herleiten wollen: Wie oben beschränken wir uns zunächst auf einen etwas einfacheren Fall, wir betrachten den Bruch, dessen Periode aus einer bestimmten Anzahl von Nullen, gefolgt von einer einzigen Eins besteht, wie etwa in 0,001. Um diesen Bruch umzuwandeln, gehen wir nun wie folgt vor: Zunächst eine kleine Vorüberlegung: Es ist doch

    Warum ist 1/999 = 0.001 001 001 ...

    Nach Division durch 999 erhalten wir, dass

    0,001 001 001... = 1/999

    und damit haben wir unseren Bruch umgewandelt. Ganz ähnlich (nur mit entsprechend mehr Neunen bzw. Nullen) überlegt man sich, dass

    Brüche mit Nenner 10^n - 1

    Nun können wir, ganz ähnlich dem Vorgehen im ersten Fall, auch allgemeine rein-periodische Brüche umwandeln, es ist doch z.B.

    0,123 912 391 239 1... = 413/3 333

    Ganz ähnlich wie oben haben wir also einen recht einfachen Algorithmus zum Umwandeln rein-periodischer Brüche: Man schreibe auf den Bruchstrich die Periode (denn die haben wir ja im letzten Schritt mit der sich ergebenden Eins multipliziert) und unter den Bruchstrich so viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat (vgl. obige Tabelle).

  3. Brüche, bei denen die Periode nicht direkt hinter dem Komma beginnt - sog. gemischt-periodische Dezimalbrüche: Schon der Name "gemischt-periodische" lässt vermuten, wie man hier vorgeht ... dieser Fall ist eine Mischung aus den ersten beiden und erfordert die Anwendung beider Ergebnisse der obigen Fälle.
    Betrachten wir beispielsweise 0,13312. Man zerlegt diesen Bruch nun zunächst in zwei Bestandteile: einmal der nicht-periodische Anteil, einmal die Periode mit nur Nullen als weiteren Ziffern davor, d.h. man schreibt:

    0,13312 = 0,13 + 0,00312

    Wie man den ersten Anteil umwandelt, haben wir im ersten Abschnitt behandelt, es ist

    Bleibt noch der zweite Teil, mit einem kleinen Trick lässt sich das auf den im zweiten Abschnitt behandelten Fall zurückführen. Lassen wir zunächst die Nullen zwischen Komma und Periode weg, so erhalten wir doch

    0,312 312 312 ... = 104 / 333

    Damit können wir aber unseren zweiten Anteil auch umrechnen:

    0,003 123 123 12... = 26/8 325

    Nun müssen wir die Ergebnisse nur noch zusammenfassen, es ist:

    0,133 123 123... = 4 433/33 300

    Hier noch einmal die Schritte zusammengefasst:

    • Man teile den Bruch auf in nicht-periodischen Anteil und in die Periode mit entsprechend vielen Nullen davor
    • Man wandle beide Teile entsprechend obigen Überlegungen um, für den periodischen Anteil erweitere man dazu mit einer passenden Zehnerpotenz (das sind 1, 10, 100, 1000, ...).
    • Man addiere beide Ergebnisse wieder und kürze.
    • fertig!

Beispiele

Hier noch einige kleine Beispiele (zunächst ist natürlich stets zu entscheiden, welcher Fall vorliegt):

  • 0,125
    Hier liegt offenbar Fall 1 vor, wir haben also nach Obigem als Ergebnis den Bruch mit dem Zähler 125 und dem Nenner 1 000 (denn 125 hat drei Stellen), also:

    0,125 = 1/8
  • 0,131
    Hier scheint der dritte Fall vorzuliegen, die Periode beginnt nicht direkt nach dem Komma, wir haben es mit einem gemischt-periodischen Dezimalbruch zu tun: Wir erhalten

    0,131 313 131... = 13/99
  • 0,13
    Dies ist ein rein-periodischer Dezimalbruch, es liegt der zweite Fall vor, man hat also, da 13 zwei Stellen hat:

    0,131 313... = 13/99

    Aber Moment, das ist ja das gleiche Ergebnis wie im Beispiel davor! Überraschend? Eigentlich nicht, denn es ist ja auch:

    0,1 31 31 ... = 0, 13 13...

    Also: Falls man solche "falschen" gemischt-periodischen Dezimalbrüche erkennt, hat man oft weniger zu rechnen!

Dezimalzahl in Bruch umwandeln

Hier kann man sich eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln lassen:

Man beachte:

  • Bitte nur natürliche Zahlen eingeben.
  • Bitte maximal 8-stellige Zahlen eingeben, da mit 16-stelliger Genauigkeit gerechnet wird.


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