Banner der Website mathematik.de. Motiv: Überall ist Mathematik

Bruchrechnung

Das Problem

Den meisten wird in ihrem Leben schon recht früh ein Bruch begegnet sein, z.B. dann, wenn man bei einem Geburtstag nur einen Kuchen hat und man den auf 9 Leute aufteilen will. Dann erhält nämlich jeder ein neuntel \( \left( \frac{1}{9} \right) \) vom Kuchen. Das ist an sich noch relativ klar und von dem natürlichen Verständnis nachvollziehbar. Aber was passiert dann, wenn man von dem eigentlichen Stück, d.h. dem neuntel des Kuchens, nur dreiviertel \( \left( \frac{3}{4} \right) \) schafft? Wieviel Kuchen hat man dann vom ganzen Kuchen gegessen? Oder wieviel Kuchen haben 6 Leute gemeinsam gegessen, wenn jeder \( \frac{1}{9} \) isst?

Die Lösung

Um Probleme der oben genannten Art zu lösen, muss man wissen, wie man Brüche \( \left( \frac{\rm Zähler}{\rm Nenner} \right) \) addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Dafür muss man bei den einzelnen Sachverhalten auf Verschiedenes achten.

  • Multiplikation: Die Multiplikation ist am einfachsten. Man multipliziert jeweils die Zähler und die Nenner miteinander:
    Beispiel: \[ \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48}\;. \] (Hier kann man den Bruch noch kürzen, da 15 und 48 beide Vielfaches von 3 sind, und man erhält \( \frac{5}{16} \). Man sagt auch, dass der größte gemeinsame Teiler von 15 und 48 gleich 3 ist: ggT(15,48)=3.)
    Da man ja die einzelnen Zähler und Nenner miteinander multipliziert, kann man auch die 3 (des Zählers) des einen Bruches mit der 6 (des Nenners) des anderen Bruches schon vor dem Multiplizieren miteinander kürzen. Dies vereinfacht in vielen Fällen die Rechnung.
    Also: \[ \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{8} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{16}\;. \] Allgemein lautet die Formel: \[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\;. \]

  • Division: Die Division ist nichts anderes als die Multiplikation des einen Bruches mit dem Kehrwert des anderen.
    Beispiel: \[ \frac{\frac{3}{8}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{16}\;. \] Und wieder die allgemeine Formel: \[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\;. \]

  • Addition: Bei der Addition von Brüchen ist darauf zu achten, dass die Brüche, die man addiert, den gleichen Nenner haben. Wenn ihr Nenner sowieso schon gleich ist, dann addiert man die Zähler miteinander und der Nenner bleibt gleich.
    Beispiel: \[ \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8}\;. \] (Hier kann man wieder den Bruch kürzen, da ggT(8,4)=4, und man erhält \( \frac{1}{2} \).)
    Wenn die Nenner noch nicht gleich sind, dann sucht man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner und erweitert die Brüche so (Zähler und Nenner), dass die Nenner gleich sind. D.h. man multipliziert die Brüche mit einer geschickten Eins, da ja \( \frac{\rm m}{\rm m} = 1 \) gilt. Bei kleinen Zahlen ist es relativ einfach, das kgV zu bestimmen, da man es oft leicht "erkennen" kann, aber bei größeren Zahlen ist es häufig nicht offensichtlich. Um es dennoch zu bestimmen, zerlegt man die einzelnen Zahlen des Nenners in ihre Primfaktoren.
    Das geht, da jede Zahl eindeutig durch Multiplikation ihrer Primfaktoren darstellbar ist.
    z.B. \[ 45=3\cdot 3 \cdot 5, \ {\rm oder} \ 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \ {\rm usw.} \] Wenn man nun diese Zahlen so zerlegt hat, dann multipliziert man die Primfaktoren miteinander, so dass alle auftreten. Beachte dabei: Wenn in einer Zahl ein Primfaktor häufiger auftritt, dann muss dieser mit der gleichen Vielfachheit im kgV auftreten. (z.B. kgV(45,105) \( = 3\cdot 3\cdot 5\cdot 7=315. \) )
    Beispiel: \[ \frac{5}{9}+\frac{1}{6}=? \] Bestimmen des kgV(9,6)=18.
    D.h.: \[ \frac{2}{2}\cdot \frac{5}{9} + \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{10}{18} + \frac{3}{18} = \frac{13}{18}\;. \] Da ggT(13,18)=1 kann man den Bruch nicht weiter kürzen.
    Auch ohne die Kenntnis des kgV ist es möglich, zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner zu addieren. Man erweitert jeden der beiden Brüche einfach mit dem Nenner des anderen. Somit erhält man sofort ohne Berechnung des kgV den gleichen Nenner für beide Brüche.
    Bei unserem Beispiel geht man dann wie folgt vor: \[ \frac{5}{9}+\frac{1}{6} = \frac{6}{6} \cdot \frac{5}{9}+ \frac{9}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{30}{54}+\frac{9}{54} = \frac{39}{54}\;.\] Weil ggT(39,54)=3, lässt sich dieser Bruch noch einmal kürzen: \[ \frac{39}{54} = \frac{3}{3} \cdot \frac{13}{18} = \frac{13}{18}\;. \] Wie man an der Beispielrechnung sieht, muss man bei der zweiten Methode im Allgemeinen mit größeren Zahlen hantieren. Die allgemeine Formel lautet hier: \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a\cdot d+c \cdot b}{b \cdot d}\;. \]

  • Subtraktion: Diese verläuft so ähnlich wie die Addition, d.h. die Brüche, bei denen man die Differenz betrachtet, müssen den gleichen Nenner haben; dann kann man bei den Zählern die Differenz betrachten.
    Beispiel: \[ \frac{7}{8}-\frac{2}{3}=? \]
    Bestimmen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen für den Nenner: kgV(8,3)=24
    \[ \frac{3}{3}\cdot \frac{7}{8} - \frac{8}{8}\cdot \frac{2}{3} = \frac{21}{24} - \frac{16}{24} = \frac{5}{24}\;. \] (da ggT(5,24)=1, kann man den Bruch nicht weiter kürzen).
    Änlich wie bei der Addition kann man auch hier wieder ohne kgV Berechnung auskommen, in dem man wieder jeweils den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern. Die allgemeine Formel lautet somit: \[ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a\cdot d-c \cdot b}{b \cdot d}\;. \]

Beispiele

  • 1. \[ \frac{3}{4} + \frac{5}{6} + \frac{1}{12} - \frac{7}{24} =? \] Zunächst müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmen, damit wir die einzelnen Brüche so erweitern können, dass sie den gleichen Nenner haben. Das kgV(4,6,12,24) ist gleich 24 und somit müssen wir wie folgt erweitern: \[ \frac{6}{6} \cdot \frac{3}{4} + \frac{4}{4} \cdot \frac{5}{6} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{12} - \frac{7}{24} = \frac{18}{24} + \frac{20}{24} + \frac{2}{24} - \frac{7}{24} = \frac{33}{24}\;. \] Hier ist der ggT(33,24)=3 und somit können wir den Bruch noch kürzen und erhalten \( \frac{11}{8} \). Es ist noch zu beachten, dass der Bruch größer als 1 ist. Somit kann man ihn noch umschreiben zu: \[ \frac{11}{8} = \frac{8}{8} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{3}{8}\;. \]

  • 2. \[ \frac{\frac{12}{25}}{\frac{3}{5}}=? \] Wir müssen \( \frac{12}{25} \) mit dem Kehrwert von \( \frac{3}{5} \) multiplizieren. Somit erhält man: \[ \frac{\frac{12}{25}}{\frac{3}{5}} = \frac{12}{25} \cdot \frac{5}{3} \] (Hierbei können wir zunächst die 5 mit der 25 kürzen und die 12 mit der 3.) \[ = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{4}{5}\;. \]

  • 3. \[ \frac{15}{19} \cdot \frac{3}{5} + \frac{11}{38} = ? \] Zunächst muss man die Multiplikation durchführen, da ja Punktrechnung vor Strichrechnung gilt. Hierbei kann man zunächst die 15 mit der 5 kürzen und erhält: \[ \frac{15}{19} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{19} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{19}\;. \] Nun will man die Summe aus \( \frac{9}{19} \) und \( \frac{11}{38} \) bestimmen. Dazu beachte man, dass kgV(19,38)=38 und berechnet: \[ \frac{9}{19} + \frac{11}{38} = \frac{2}{2} \cdot \frac{9}{19} + \frac{11}{38} = \frac{18}{38} + \frac{11}{38} = \frac{29}{38}\;. \] Da ggT(29,38)=1, kann man den Bruch nicht weiter kürzen.

  • 4. \[ \frac{\frac{11}{27}}{\frac{5}{6}} + \frac{12}{15} \cdot \frac{25}{48} + \frac{13}{21} = ? \] Wir betrachten den ersten Summanden: \[ \frac{\frac{11}{27}}{\frac{5}{6}} = \frac{11}{27} \cdot \frac{6}{5}\;. \] Hier haben wir mit dem Kehrwert multipliziert und können den Faktor 3 in der 6 mit der 27 kürzen. \[ = \frac{11}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{22}{45}\;. \] Wir betrachten nun den zweiten Summanden: Hier können wir die 12 mit der 48 und den Faktor 5 in der 15 mit der 25 kürzen: \[ \frac{12}{15} \cdot \frac{25}{48} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{12}\;. \] Nun können wir die einzelnen Brüche zueinander addieren: \[ \frac{22}{45} + \frac{5}{12} + \frac{13}{21} = ? \] Wir müssen zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmen: kgV(45,12,21)=1260 und erhalten: \[ \frac{28}{28} \cdot \frac{22}{45} + \frac{105}{105} \cdot \frac{5}{12} + \frac{60}{60} \cdot \frac{13}{21} = \frac{616}{1260} + \frac{525}{1260} + \frac{780}{1260} = \frac{1921}{1260}\;. \] Da der ggT(1921,1260)=1 ist, können wir den Bruch nicht weiter kürzen.

Bruchrechner

Hier kann man das Rechnen mit Brüchen noch einmal üben.

Man beachte:

  • Es sind nur positive Ganzzahlen als Eingaben für Zähler und Nenner erlaubt.
  • Eine 0 im Nenner ist nicht möglich.
  • Man kann maximal 8-stellige Ganzzahlen verwenden, da mit 16-stelliger Genauigkeit gerechnet wird. Beim Rechnen mit 8-stelligen Zahlen können nämlich nur maximal 16-stellige Zahlen auftreten.

     




Links

Hier finden Sie Links zu Seiten zum Thema Bruchrechnung. Sie haben eine Seite zum Thema Bruchrechnung, die hier noch nicht auftaucht? Schreiben Sie uns! (mail[at]mathematik.de)