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Mathematik für alle Sinne

Inhaltsverzeichnis

Einleitung: Sehen, der direkte Weg zur Wahrheit

Manchmal ist es so, dass man bei der richtigen Darstellung eines Problems die Lösung sofort sieht. Das wird an vier Beispielen verdeutlicht:

  • an der Summenformel 1+3+5+...+(2n-1)=n2,
  • an der Summenformel 1+2+3+...+n=n(n+1)/2,
  • am Beweis des Satzes von Pythagoras
  • und am Beweis des Satzes von Thales.
Das ist in der Mathematik gar nicht so selten. Auch bei weit komplizierteren Problemen fällt Mathematikern die Lösung manchmal schlagartig ein, nachdem sie sich lange genug in die Fragestellung eingearbeitet haben.

Das Thema hat aber noch einen anderen Aspekt, man könnte ihn " experimentelle Mathematik" nennen. Damit ist gemeint, dass man zu Beginn der Auseinandersetzung mit einem Problem manchmal noch gar keine Vorstellungen über mögliche Gesetzmäßigkeiten hat. Als Erstes betrachtet man eine Reihe von konkreten Situationen, falls längere Berechnungen erforderlich sind, werden heute massiv Computer eingesetzt. Dadurch kommt man zu einer Vermutung, und die muss man dann "nur" noch beweisen. Dieses induktiv-deduktive Verfahren spielt eine ganz große Rolle.

Zur Erläuterung gibt es zwei berühmte Beispiele. Das erste ist der Primzahlsatz. Damals hatte Gauß noch " von Hand" gerechnet und für das Wachstum der Primzahlen eine Näherungsformel gefunden. Die wurde 50 Jahre später dann wirklich bewiesen.

Als zweites Beispiel wird die Goldbachvermutung erläutert. In diesem Fall ist man beim ersten Schritt stecken geblieben: Der experimentelle Befund, dass jede gerade Zahl Summe zweier Primzahlen ist, ist zwar erdrückend, es ist aber bis heute nicht streng bewiesen worden.

Schließlich ist in diesem Zusammenhang noch auf eine quasi philosophische Fragestellung hinzuweisen.

Betreiben wir die richtige Mathematik?
Das soll bedeuten: Stimmt es, dass " offensichtlich" richtige Phänomene auch mathematisch streng beweisbar sind? Die Antwort ist "JEIN", das kann wie folgt begründet werden.

Einerseits werden die elementaren Lebenserfahrungen natürlich richtig wiedergegeben:

Wenn ich meinen Einkaufszettel bei ALDI abarbeite, so habe ich am Ende weniger ausgegeben, als wenn ich in die Feinkostabteilung des KadeWe gegangen wäre.

Der zugehörige (richtige und leicht zu beweisende) Satz lautet: Gilt für Zahlen xi und yi, dass stets xi kleiner als yi ist, so ist die Summe der xi kleiner als die Summe der yi. (Vielleicht haben Sie sich das als "Ungleichungen dürfen addiert werden" gemerkt.)

Es gibt aber auch Fälle, wo es viel anstrengender ist, " Offensichtliches" streng zu beweisen. Man muss schon sehr genau auf die grundlegenden Eigenschaften der reellen Zahlen achten, um zu zeigen, dass jede Linie, die zwei auf verschiedenen Seiten einer Geraden liegende Punkte verbindet, diese Gerade irgendwann einmal schneiden muss. Auch hat es viele Jahrzehnte gedauert, bis das Phänomen " Knoten" mathematisch befriedigend gelöst war (was ist ein Knoten? welche kann man entknoten?).

Überraschenderweise ist es aber manchmal so, dass sich die Lebenserfahrung nicht eins zu eins widerspiegelt. Zum Beispiel ist es "klar", dass eine Menge echt kleiner wird, wenn man ein Element herausnimmt. Heute weiß man: Das stimmt für den Bereich der endlichen Mengen (und daran haben wir ja unsere Erfahrung trainiert), wird aber im Bereich der unendlichen Mengen falsch (so z.B. kann man aus einer unendlichen Menge Elemente entfernen, die Menge wird dann "nicht kleiner"). Auch an anderen Beispielen in der Entwicklung der Mathematik und der anderen Wissenschaften lässt sich verdeutlichen, dass unser Gefühl nur für den Erfahrungsbereich verlässlich ist: Die für die Relativitätstheorie, Quantentheorie sowie allgemein kosmische und molekulare Dimensionen wichtigen Bereiche sind uns nicht direkt sinnlich zugänglich.

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